De rekentoets 3F (advocaat van de duivel)

Cito reageert vooralsnog niet op de kritiek op de rekentoets. Laat ik eens proberen voor hen enkele vragen te beantwoorden  (als advocaat van de duivel :-)

Allereerst wat is rekenen?
Makkie, dit staat nu heel duidelijk omschreven in de referentieniveaus's 1F, 1S, 2F, 2S, 3F en 3S. Voor ieder schooltype en leeftijdsgroep liggen de (streef)doelen dus vast.

Is de rekentoets 3F voor havo/vwo/mbo een rekentest of een intelligentietest?
Nou beide! Er worden enkele vragen gesteld uit de onderliggende referentieniveaus, maar 3F voor havo/vwo/mbo moet uiteraard moeilijker zijn dan 2F voor vmbo. Op havo/vwo kunnen leerlingen meer aan, dus kun/moet je deze vragen ook complexer maken. Het is niet de bedoeling dat alle leerlingen in Nederland 3F (kunnen) halen, vandaar dat intelligentie ook gemeten wordt!

Is 3F dan wel haalbaar voor mbo?
Jazeker, een mbo-diploma geeft net zoals havo toegang tot hbo; dat vraagt dus hetzelfde werk- en denkniveau. Mbo-ers hebben wel meer tijd om aan de 3F eisen te voldoen.

Waarom scoren veel leerlingen zo slecht voor rekenen 3F?
Mogelijke oorzaken:
1. Onderliggende referentieniveaus zijn niet gehaald, dan halen ze 3F natuurlijk ook niet.
2. Extra leerdoelen (die na 1F en 2F komen) zijn niet aan bod gekomen of niet gehaald.
3. Leerlingen hebben mogelijk de toetsen onvoldoende serieus voorbereid/gemaakt.
4. Scholen (docenten en lesmateriaal) waren er nog niet klaar voor.
5. Nog veel vragen waren van onvoldoende kwaliteit, die dienen uiteraard te worden aangepast.
6. Bladeren was onmogelijk, dat wordt uiteraard aangepast voor de opgaven met rekenmachine.
7. Leerlingen hadden tijd te kort, te veel vragen in de toets.
8. Aanpak wordt niet beoordeeld, kleine foutjes worden afgestraft met 0 punten.
9. Toetsen worden niet vrijgegeven, dus kunnen ze ook niet leren van hun fouten.
10. Leerlingen zijn wellicht verkeerd ingedeeld, zitten onterecht op havo, vwo of mbo.

Waarom staan er zoveel contextvraagstukken in de rekentoets?
Rekenen om het rekenen wordt niet getoetst. Accent 3F ligt vooral op maatschappelijk rekenen (met toepassingen in het dagelijkse leven), accent 3S meer op zelfredzaamheid in het vervolgonderwijs  (formeel, abstract rekenen). Het toetsen van zelfredzaamheid in onze samenleving kan uiteraard niet zonder maatschappelijke contexten. Een toets 3S zou minder contextvragen bevatten, 2S en 1S evenmin.

Waarom mag er bij zoveel vragen een rekenmachine gebruikt worden?
Waar is de rekenmachine anders voor bedoeld dan? Wat doe je zoal met een rekenmachine? Zelfredzaamheid in de maatschappij mag met rekenmachine, tijdens toets 3F dus ook.


Hoe kunt u als de toetsen geheim blijven de vragen zonder commentaar verbeteren?
Daarvoor zijn de pilots uiteraard bedoeld, om te leren van gemaakte fouten en onzorgvuldigheden. Maar de toetsen zouden inderdaad vrijgegeven moeten worden, en leerlingen zouden ook inzage in hun werk moeten krijgen. De verleiding tot 'Teaching to the test' wordt dan echter wel groter.


Waarom moet 3F getoetst worden?
Zonder toets is het lastig de leerdoelen te implementeren in het onderwijs; het veld vraagt ook om een concrete uitwerking van de leerdoelen in (voorbeeld)toetsvragen. Door de uitslag van de rekentoets mee te nemen in de zak-/slaagregeling of bij te laten schrijven op de cijferlijst bij het diploma wordt afgedwongen dat eenieder zich maximaal voorbereidt op de rekentoets (zowel de leerlingen als de onderwijsgevenden).

Maar als de rekentoets ook een intelligentietest is, kun je dan wel voldoende voorbereiden op de rekentoets?
Voorbereiden op de rekentoets 3F vindt voor het grootste deel plaats op de lagere school door te werken aan 1F en 1S. Daarna is het een kwestie van ouder en wijzer worden, waarbij onderweg een paar extra leerdoelen opgepikt dienen te worden.

Veel mensen willen de staartdeling en het ouderwetse cijferen weer terug? Waarom wordt dat niet teruggevraagd in de toets?
Dat is didactiek die ingezet kan worden bij basisrekenen op de lagere school.  3F is daar allang voorbij.

Waarom vindt er dan niet louter een rekentoets 1F plaats aan het einde van de lagere school?
Leerlingen bij wie het op de lagere school (om wat voor reden dan ook) niet gelukt is 1F te halen, krijgen in het vo extra tijd (een extra kans) om er alsnog aan te werken.

Leidt afname 3F aan het einde van het vo niet tot diploma-inflatie?
Het is aan de scholen in hoeverre zij meegaan in 'Teaching to the test'? Als school kun je meer aanbieden, eisen dan op het CSE en de rekentoets wordt gevraagd. En het is aan de lagere scholen om de leerlingen optimaal voor te bereiden en het juiste advies mee te geven. Als een leerling in het vo niet slaagt vanwege een onvoldoende voor de rekentoets, dan kun je je ook afvragen of deze leerling op de goede plek zit.

Leidt afname 3F aan het einde van het vo niet tot een enorme toename van gezakten en schoolverlaters zonder diploma?
Direct het juiste schooltype kiezen en op tijd bijsturen wordt nu extra belangrijk.

Moet er op het vwo niet een 3S toets komen?
Nee, de verwachting is dat alle leerlingen op het vwo voor 3F en 3S uiteindelijk zullen slagen. Dat maakt een rekentoets op het vwo overbodig. Verwerking van de rekendoelen in de kerndoelen van de bestaande vakken moet afdoende zijn. Dat geldt ook voor de havo: 3S kan gewoon ondergebracht worden bij de reguliere rekenvakken.

Maar waarom moet er op de havo en het mbo dan wel een toets 3F afgenomen worden?
Dat is op de lange termijn natuurlijk ook onzin. Zodra 1F en 1S op tijd gehaald worden, is er geen maatschappelijke noodzaak meer om het onderwijs lastig te vallen met extra landelijke rekentoetsen.

Is het dan niet veel verstandiger om het geld dat gemoeid is met de wet referentieniveaus, preventief te investeren in het onderwijs door de klassen te verkleinen, leerkrachten meer tijd, ruimte en ondersteuning te geven voor beter onderwijs, en niet alleen voor rekenen?
Natuurlijk, waarom dat niet gebeurt is voor iedereen die hier niet zijn boterham mee verdient, een raadsel.


(-: Geen reacties aub! :-)

Rekenbeleid vwo (juli 2013)

Juli 2012 schreef ik nog in mijn eerste blog over rekenbeleid vwo: "...tja, eerst zien, dan geloven." Ik vond het namelijk onvoorstelbaar dat veel vwo-leerlingen een onvoldoende zouden halen voor een rekentoets die ook op de havo wordt afgenomen. Dat zou onder de havo-leerlingen toch een slachting veroorzaken? Laten we eens kijken wat er van deze voorspelling terecht is gekomen.

1. Na de herkansing zijn er bij ons nog slechts 2 leerlingen uit G5 die een vijf staan. Volgend jaar heb ik er vertrouwen in dat ook deze 2 leerlingen een zes of hoger zullen halen.

2. De rekentoets wordt tot 2015/2016 uit de slaag/zakregeling gehouden. Dat betekent dat je voorlopig niet kunt zakken op rekenen (mits je deelgenomen hebt aan de rekentoets). Het cijfer wordt vanaf 2013/2014 echter wel bijgeschreven op de cijferlijst bij het diploma.

3. Op de Havo is de rekentoets inderdaad veel slechter gemaakt (zie wiskundEbrief 633)

Mijn voorspelling lijkt op meerdere punten dus redelijk goed uitgekomen, maar het is nog even wachten op de officiële uitslag en analyse. De vraag of de rekentoets valide is (en of een degelijke voorbereiding op deze rekentoets mogelijk is), laat zich misschien toch al beantwoorden. Ik vermoed namelijk van niet. Om een acceptabel aantal leerlingen op de havo een vijf of hoger te laten halen voor de toets, moet vrijwel iedereen op het vwo voor deze zelfde toets een voldoende halen. Maar dat maakt deze toets op het vwo overbodig, aangezien bij ons verreweg de meeste leerlingen zonder noemenswaardige voorbereiding het toch "gehaald" hebben. Laat je in de pilots een aanzienlijk deel op het vwo een onvoldoende halen, opdat ook vwo-ers zich uiteindelijk flink moeten inzetten voor een voldoende resultaat, dan veroorzaakt dat op de havo waarschijnlijk met dezelfde 3F toets alsnog een onacceptabele slachting.



Een interessante vraag is in hoeverre je leerlingen kunt voorbereiden op de rekentoets. Of is de rekentoets niet meer dan een soort van intelligentie- of aanlegtest. Gezien de minieme verschillen tussen 2F en 3F op "rekentechnisch" vlak, lijkt het me een pittige klus om voor leerlingen geschikt materiaal te vinden, te maken, om ze van niveau 2F op 3F te krijgen, waar het niet een natuurlijk proces is van ouder en wijzer worden. Nog meer oefenen met contexten, verwarring scheppen in de gegevens, de rekensom uit het verhaal halen, overbodige gegevens negeren, een denkstapje toevoegen, wordt lastig met slechts een paar vrijgegeven voorbeeldtoetsen. En vraag blijft of leerlingen na al dat oefenen daadwerkelijk beter kunnen rekenen. Wat dat is, 'kunnen rekenen', daar moet men trouwens eerst maar eens overeenstemming over bereiken.

Er is veel kritiek op de rekentoets zelf. Vooral het niet kunnen bladeren (moeilijke opgaven voor het laatst bewaren) en het achteraf niet kunnen inzien van de opgaven en eigen uitwerkingen (en daarvan kunnen leren), worden als zeer bezwaarlijk genoemd. Ook zaken als significantie, afronden, en het alleen beoordelen van het eindantwoord (niet de aanpak) zijn hoogst ongebruikelijk voor een examen waar zoveel van afhangt. Tevens doet een toetsduur van 120 minuten een groot beroep op het concentratievermogen van de leerlingen. Heeft schaven aan de rekentoets wel zin?  Zal een kortere toets, die met de hand wordt nagekeken (aanpak incluis), en waarin bladeren wel mogelijk is, wel tot acceptabele resultaten leiden. Ik vrees van niet. De leerdoelen blijven immers hetzelfde en de vertaling van leerdoelen naar toetsvragen zal voor de geloofwaardigheid van doel en uitvoerbaarheid er waarschijnlijk niet opeens heel anders uit gaan zien. Kunstgrepen als minder tekst, minder contextvragen, beperkter gebruik van de rekenmachine zouden toch vreemd zijn na zorgvuldige vertaling van referentieniveaus in leerdoelen en toetsvragen. Je kunt functioneel rekenen niet opeens anders gaan definiëren, toch? Of wordt de letter F weer de afkorting van fundamenteel? Misschien is het goed om bij het begin te beginnen en de hele problematiek rondom het rekenen opnieuw te bezien.

Ik meen zelf dat de rekentoets overbodig zou moeten zijn in het vo. De dramatische uitkomsten maken misschien wel pijnlijk zichtbaar dat een deel van de leerlingen te "hoog" (of verkeerd) is ingedeeld. Van havo- en vwo-leerlingen mag je toch verwachten dat ze bij aanvang in het vo goed zijn in rekenen, dat je kunt voortbouwen op een gedegen ondergrond. In uitzonderlijke gevallen moet je leerlingen met een rekenachterstand bijspijkeren, maar daarvoor moet je niet aan het einde van de rit alle leerlingen onderwerpen aan een test waar ze ook nog eens op afgerekend worden (dat is toch veel te laat). Testen en hiaten wegwerken doe je gaandeweg. Vertrouw erop dat leerlingen met hbo- en wo-potentie, ofwel leerlingen die uiteindelijk met de nu bestaande examenvakken een havo of vwo diploma zullen halen, voldoende rekenvaardig zijn/worden voor de richting die zij op zullen gaan. M.a.w. integreer het onderhouden, verbreden en verdiepen van rekenvaardigheden en -inzichten in de kerndoelen van de bestaande vakken.

Het is fout te concluderen dat alle leerlingen met een onvoldoende voor de rekentoets 3F niet thuis horen op het havo of vwo. Neen, je kunt immers ook slagen met een vijf voor rekenen. En niet iedere leerling is voluit gegaan bij het voorbereiden op de generale repetitie van de rekentoets, waarop zakken tot 2015/2016 onmogelijk is. Lesmateriaal laat nog steeds te wensen over, methodes zijn nog niet klaar. Welke aanpak was doeltreffend, is die er al? Maar bovenal de validiteit van de rekentoets staat niet onomstotelijk vast. Met een aantal verbeteringen aan de rekentoets zelf, zal wellicht nog een deel van de leerlingen voorbij de cesuur getrokken kunnen worden, maar ik vermoed dat een substantieel deel nooit zal slagen voor 3F op het havo en vwo (en zal dus een 4 of lager halen). Zij horen daar waarschijnlijk dan ook niet thuis. Wie dat zijn, moet je uiteraard niet boven water krijgen met een rekentoets in het examenjaar, dat moet op de lagere school al of z'n laatst in klas 1 of 2.

Helaas krijgen niet alle leerlingen op de basisschool het kwalitatief goede rekenonderwijs dat ze verdienen. Ik vind het wonderlijk dat men dat probeert te repareren met een rekentoets in het vo. Moeten de klassen (zowel po als vo) niet gewoon kleiner, moeten de leerkrachten niet meer ondersteuning, tijd en ruimte krijgen om meer kwaliteit te leveren. Moet diploma-inflatie (of devaluatie) niet eens aangepakt worden? Moet het beroep van leerkracht op de lagere school niet veel meer waardering en aantrekkingskracht krijgen, met hogere eisen op pabo's, met hogere salarissen? Moet het loon van alle meesters en juffen niet gelijk getrokken worden aan docenten in het vo? Moet geld dat bedoeld is voor onderwijs niet meer bij de leerkracht en leerling terecht komen? Waarom lekt er zoveel geld weg? Waarom verdienen zoveel mensen in of om het onderwijs meer dan de mensen die voor de klas staan? Waarom wordt er zoveel geld gestoken in bureaucratische maatregelen waarvan onduidelijk is of die goed zullen uitpakken (denk aan de bavo-toetsen, nu weer het rekenbeleid, lerarenregister, straks weer de tussentoetsen). Waarom niet investeren in het primaire proces? Preventief investeren in plaats van de zooi van wanbeleid en bezuinigingen opruimen. Moeten wij docenten, schoolleiders, medewerkers in het onderwijs, ouders, of eigenlijk alle Nederlanders niet veel meer opkomen (in verzet komen) voor onze kinderen, om te knokken voor onderwijsbeleid dat echt oplost wat er mis gaat?

Doel van wiskunde (vervolg)

Ik geloof dat ik het (tot nu toe) met een groot deel van de inzendingen eens ben op het forum: "Het echte doel van het wiskundeonderwijs" op de site van de NVvW.  Het lijkt hier en daar dat er een verschil van mening is, maar in sommige gevallen is dat toe te schrijven aan een andere interpretatie van de gebruikte woorden, en bedoelen we toch min of meer hetzelfde. Grappig is dat helderheid enerzijds vraagt om een eenduidige, ondubbelzinnige formulering, een abstracte taal als wiskunde voldoet daaraan, anderzijds moet je soms concreet zijn om duidelijk te maken wat je nu precies bedoelt. Het begrip belevingswereld bijvoorbeeld, wat bedoelen we hiermee? Moet belevingswereld eerst streng gedefinieerd worden voordat je het kan gebruiken, of volstaat een simpele, letterlijke vertaling?

Belevingswereld

Ik vermoed dat aansluiten op de belevingswereld vaak geïnterpreteerd wordt als aansluiten op wat leerlingen meemaken buiten de les. Ik denk dat dat een groot misverstand is. Een groot deel van de tijd brengen leerlingen immers door in de schoolbanken. Maar dan behoort voorkennis ook tot de belevingswereld van leerlingen. Oh, gelukkig! Aansluiten op de belevingswereld is dus ook aansluiten op voorkennis. Opgelost! :-) Belangrijk is wel dat je bij voorkennis niet moet vergeten over de muurtjes van het eigen vakgebied te kijken. Contexten voor wiskunde komen vaak bij andere vakken vandaan. Wiskunde heeft daarmee ook een ondersteunende rol, een rol of doelstelling die ik liever onderbelicht laat, want straks wordt het vak wiskunde nog ingelijfd door natuurkunde of economie. Als je nadenkt over "het doel van wiskunde", dan zijn er dus redenen nodig die wiskunde bestaansrecht geven als zelfstandig vak.

Willem van Ravenstein schrijft in zijn deel 4 over wiskunde:

"Abstractie maakt de wiskunde op meerdere momenten bruikbaar, eenmaal begrepen concepten en structuren worden herkenbaar in andere en zelfs in geheel nieuwe situaties". 

Ik vind dat mooi, echter moet ik ook bekennen dat bij andere vakken wiskunde helaas niet altijd als dusdanig herkend wordt. Ik denk dat op dit punt in ons onderwijs nog veel winst te behalen is, door vakken middels relevante contexten met elkaar te verbinden, door didactiek, aanpak en notaties onderling af te stemmen, maar ook door "van concreet naar abstract", en "van abstract naar concreet" gedoseerd af te wisselen. Ik heb het idee dat methodeschrijvers omwille van profilering te veel kleur bekennen en doorslaan in een van beide richtingen. Getal en Ruimte begint abstract, en komt na veel oefenen aan het eind met een (gekunstelde) toepassing. Moderne Wiskunde construeert meer samen met de leerling de wiskunde zelf, abstractie wordt uitgesteld, maar inzicht krijgt direct volop aandacht met concrete aansprekende contexten.

Context

Een tweede misverstand is dat de wiskunde zelf vaak niet als context gezien wordt. Als voorkennis onderdeel is van de belevingswereld, dan kan ons eigen vakgebied, of rekenen als voorloper daarvan, natuurlijk ook als context dienen. Als voorbeeld van concreet naar abstract noem ik de Ditwis Rijen uit klas 1 (bereken het 37e getal in de rij 3, 5, 7, 9, ...) Met deze vraag trainen we het vinden van een lineaire formule. De context lijkt geen doel te hebben, maar het maakt duidelijk dat een formule niets anders is dan een rekenvoorschrift dat in dit geval het getal uit de rij berekent als je de plek, het nummer van het getal weet. En het leuke is dat ik leerlingen niet hoor mopperen wat nou het doel van die formule is, je kan er immers dat stomme getal mee uitrekenen, dat is doel genoeg, voor even. Ik vrees dat als ik eerst andersom het y = ax + b recept volledig behandel en daarmee laat zien dat je met zo'n formule het zoveelste getal kan uitrekenen, dat leerlingen zich massaal zullen afvragen waarmee ze in vredesnaam bezig zijn. Wat ik bedoel te zeggen is dat als je context toevoegt aan wiskunde, deze bij aanvang een ondersteunende rol moet hebben (om tot inzicht en abstractie te komen); zodra je de context aan het einde toevoegt, de context tot doel maakt, dan moet het wel een verdraaid goede toepassing zijn om nog geloofwaardig over te komen. Het moment waarop je context toevoegt kan dus cruciaal zijn. Verkeerd timen kan leiden tot de gevreesde waarom vraag (waarom moeten we dit leren).

De context hoeft niet eens realistisch te zijn om geloofwaardig over te komen, een uitdagend puzzeltje voldoet prima. Het mag in eerste instantie ook een versimpeld model van de werkelijkheid zijn (wiskunde is ook modelleren). Tien euro abonnement en 20 cent per minuut gesprekskosten is voor mobiel bellen wellicht in dit tijdperk met o.a. gratis belminuten niet realistisch meer te noemen, het is wel een makkelijk voor te stellen model voor de werkelijkheid. Je kan er heel goed een formule mee vinden als in een tabel om de 5 minuten (lekker realistisch) gegeven is welk bedrag betaald moet worden. Contexten kunnen wat mij betreft prima ingezet worden om de weg naar abstractie en de algemene y= ax + b denkwijze te verhelderen.
Een groot deel van de schoolwiskunde bestaat uit het beschrijven van verbanden middels het kwartet context, tabel, grafiek en formule; eerst met slechts twee variabelen, beginnend bij lineaire verbanden, gevolgd door kwadratische-, wortel-, machts-, exponentiële- en hyperbolische verbanden.
Waarom zouden we context dan niet mogen gebruiken in de (school)wiskunde? Tot de macht nul, kun je uitleggen aan de hand van regelmaat, ook met gebruik making van de rekenregels g^a/g^a=g^(a-a) = g^0 = 1, maar toch ook met een context bij exponentiële groei: A(t) = b * g^t  waarbij A(0) = b alleen opgaat als g^0 =1. Wiskunde leer je niet door in de abstractie te blijven hangen, wiskunde leer je door alle mogelijke manieren aan te grijpen om die abstractie te doorgronden. Contexten zijn wat mij betreft een onmisbaar onderdeel in de didactiek om abstracte zaken te verhelderen of om tot abstractie te komen. Zodra de abstractie er is, dan kunnen andere vakken dienen als toepassingsgebieden, kun je weer van abstract naar concreet gaan. Vraag of uitdaging blijft voor mij wel of we door beperking van overlap tussen de verschillende vakken, niet meer tijd kunnen winnen.

Receptwiskunde of zelf (of samen) ontdekken.
Bijkomstig voordeel van zelf de wiskunde (her)ontdekken is dat je dezer wijze vrij natuurlijk (samen) tot meerdere aanpakken komt, je bijvoorbeeld naast het y = ax + b recept ook gelijkwaardige formules met haakjes kunt vinden. Veel docenten (en uitgevers) huiveren voor meerdere aanpakken, verkiezen één recept dat altijd werkt. "Daarmee halen ze de toets tenminste". "Flink oefenen, inzicht komt later wel", zijn kreten die mij welbekend in de oren klinken. Maar strookt deze denkwijze wel met het echte doel van wiskunde? Is het niet juist belangrijk ingewikkelde zaken van meerdere kanten te belichten, zodat leerlingen echt boven de stof (kunnen) komen te staan?
Er zijn docenten die bij rekenen het verkrijgen van een juist antwoord belangrijker vinden dan een begrijpelijke aanpak. Ze zweren bij een strak algoritme dat altijd werkt, maar dat niet per se begrepen hoeft te worden. Ligt het niet meer voor de hand, in het tijdperk van mobiele rekenapparaten, juist meer aandacht te hebben voor het begrijpen van die aanpak? En is voor een goed begrip niet meer nodig dan voordoen en na-apen. Moeten leerlingen niet veel meer zelf aan het denken gezet worden, in plaats van het klakkeloos uitvoeren van een onbegrepen recept? Ik geloof dat de waarheid ergens in het midden ligt. Zelf ontdekken houdt een keer op, sommige dingen verzin je gewoon niet zelf. Receptwiskunde aan de andere kant is soms dodelijk saai en roept vaker dan nodig de waarom vraag op. Het wordt pas leuk als er iets te ontdekken valt. Dat lukt minder makkelijk via een individuele leerroute, gestuurd door de methode. Samen ontdekken is veel leuker en met directe interactie kun je sneller en makkelijker de diepte opzoeken, verschillende aanpakken bekijken, tot een beter begrip komen. Zonder een gids aan je zijde, loop je veel moois voorbij.
Denk nou niet dat ik anti-staartdeling ben of dat ik het ouderwetse cijferen niets vind. Integendeel, ik ben juist voor deze beknopte heldere notaties. Maar het ordelijk en begrijpelijk noteren vind ik veel belangrijker dan het krijgen van het juiste antwoord (alhoewel een goed antwoord ook wel fijn is). Getalbegrip is het doel, niet het snel vinden van het juiste antwoord. Die strijd moet je niet willen winnen van een rekenapparaat, toch? Ik vrees dat tegenwoordig de "snelle leerling" op de lagere school te vaak "weggezet" wordt met een rekenboekje. Aandacht gaat vooral naar de leerlingen die moeilijk mee komen. Ook op de middelbare school worden bij wiskunde de snelle leerlingen overgeleverd aan de methode, waarbij (extra) stof zelfstandig doorgewerkt moet worden terwijl de docent bezig is het aantal onvoldoendes in de klas probeert te beperken. Dat verklaart wellicht de receptwiskunde van Getal en Ruimte, waarmee leerlingen in eigen tempo de stof kunnen doorwerken, en zonder docent een heel eind kunnen komen. Best knap, zo'n snelweg naar het eindexamen. En het werkt ook nog. Verreweg de meesten slagen. Ik verkies toch liever de groene route. Af en toe verkeerd rijden. Stilstaan bij mooie ontdekkingen. Je bent iets langer onderweg, maar je hebt wel meer het idee zinvol bezig te zijn, dat je interessante dingen leert. Met zelf of samen ontdekken krijg ik minder de waarom vraag, dan met zelfstandig, methode gestuurde recept-wiskunde.

Vaardigheden versus inzicht
Vaardigheden zijn nodig om inzicht te laten beklijven, om het geleerde te verankeren. Te veel oefening leidt tot de gevreesde waarom-vraag, te weinig tot onvoldoende beheersing. Het op tijd heen en weer schakelen tussen concreet en abstract, tussen vaardigheden en nieuwe inzichten, moet leerlingen bij de les houden. Opvallend vind ik dat er in de bestaande methodes veel bezuinigd wordt op inzicht. Maakt dat vaardigheden niet tot een doelloze bezigheid? Het antwoord op de vraag "wat kan je hiermee" wordt in de methodes (en examens) dan gezocht in vaak onwerkelijke toepassingen, waarmee de zin van wiskunde alleen maar nog meer in twijfel getrokken wordt. Werkelijk doel is toch komen tot nieuw inzicht, het verder doorgronden van de wiskunde, waarmee niet alleen op eigen vakgebied maar ook bij de andere vakgebieden terreinwinst gemaakt kan worden. In de de tijd dat ik op een (i)vmbo werkte, zag ik dat de methode bijna geheel ontdaan was van inzicht. Moet je dan nog wel wiskunde aanbieden, vraag ik me dan af. Kun je dan niet beter louter werken aan gecijferdheid? Of inzetten op vaardigheden die nauw aansluiten op de toekomstige beroepsuitoefening? Of gericht inzetten op vooral ondersteuning van andere vakken. Is het leren van wiskundige vaardigheden zonder inzicht wel zinvol? Heeft wiskunde met puur inzetten op vaardigheden wel bestaansrecht als zelfstandig vak? Waar het nodig is om aansluiting te vinden voor het vervolg onderwijs, tja, dan moet wiskunde op het programma blijven staan. Verder mag het van mij uit de lessentabel als je er verder nooit meer iets mee doet. Integreer het maar met andere vakken. Maar waar wiskunde overeind blijft, durf dan ook te vragen, houd de markante bewijzen erin, van wortel twee is geen breuk tot de hoeken-issue bij Pythagoras. Waarom wordt daarop bezuinigd? Waarom wordt dat weggedrukt als verdieping?

Wiskunde A, B, C en D
Tot op heden is wiskunde C op het vwo bijna gelijk aan wiskunde A, minus hypothese toetsen, differentiëren en wat algebraïsche vaardigheden. Het is mij niet helemaal helder, waarom in de voorbereiding op het wetenschappelijk onderwijs, waarin onderzoekers worden opgeleid, juist hypothese toetsen geschrapt wordt. Is haalbaarheid meer doorslaggevend voor de inhoud dan aansluitng op het vervolgonderwijs? En waarom zit er geen logica in de verschillende verplichte wiskunde varianten, dat is toch voor iedereen leuk en relevant? Wiskunde C als uitgeklede versie van wiskunde A, mag wat mij betreft van de lessentabel verdwijnen, maar een wiskunde C die werkelijk voorbereidt op het vervolgonderwijs, mag blijven.
Het is net zozeer vreemd dat leerlingen die NT met wiskunde B gedaan hebben zonder wiskunde D in het pakket een TU mogen instromen. Waarom geven vervolgopleidingen niet veel duidelijker aan welke leerdoelen nodig zijn om een gerede kans van slagen te hebben. Als we het hebben over het doel van wiskunde, dan heeft het vervolgonderwijs een belangrijke taak bij het aangeven van de leerdoelen die als voorkennis noodzakelijk of gewenst geacht worden. Gebeurt dat wel voldoende?
Op het vwo lijkt me statistiek, waarschijnlijkheidsleer (kans) en logisch redeneren onmisbaar als ondergrond voor wetenschappelijk onderwijs. Ik begrijp wel dat, naast de roep om wiskunde op een gegeven moment te kunnen laten vallen, er ook behoefte is aan een wiskundevariant die voor alle profielen op het vwo verplicht wordt gesteld. Voor het havo zou de onderbouw wiskunde misschien genoeg moeten zijn als gemeenschappelijk deel. Ik ben benieuwd wat wiskunde alfa en beta ons zal brengen.

Kennen, kunnen, begrijpen.
Samenvattingen in de wiskundeboeken worden vaak misbruikt om vlak voor de toets te kijken waar het hoofdstuk over gaat, om zodoende nog proberen enkele vragen goed te beantwoorden. Het lijkt een beetje op paniekvoetbal, de laatste minuut de keeper naar voren sturen, in de hoop nog een punt te scoren. Het getuigt niet echt van een goede wedstrijd, of van een goede voorbereiding. Veel zinvoller is het om leerlingen zelf een samenvatting te laten maken of bijhouden. Het maken van een kennen-kunnen-begrijpen-lijst is aan te bevelen. In de kennen-kolom (weten) komen de nieuwe begrippen, regels, weetjes die ze geleerd hebben, in de kunnen-kolom wat ze moeten kunnen uitrekenen, tekenen of beredeneren (voordoen, gebruiken), en in de begrijpen-kolom komt wat je moet kunnen bewijzen of uitleggen (het vereiste inzicht waarom iets werkt). De regel voor de inhoud van een piramide bijvoorbeeld moet je kennen (weten, onthouden), kunnen (er mee rekenen, gebruiken) en begrijpen (aannemelijk maken dat de regel klopt). Deze drie beheersingsniveaus laten zich in klas 1 makkelijk toelichten met bijvoorbeeld hoe je breuken vermenigvuldigt.
3/4 * 2/5 = 3/10 (je hebt het antwoord onthouden, kennen is weten)
3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/10 (niveau kunnen, uitvoeren, voordoen)
3/4 * 2/5 tekenen en inzichtelijk maken waarom de regel (T*T)/(N*N) werkt (begrijpen dus)
Zo probeer je bij wiskunde de begrijpen kolom zoveel mogelijk gevuld te laten zijn, dan hoef je ook minder te onthouden en minder te oefenen. Als ik op zoek ga naar voorbeelden waarbij het niet lukt om leerlingen begrip bij te brengen bij geleerde vaardigheden, dan vraag ik me direct af wat dan de zin daarvan is. De oppervlakte en inhoud van een bol bijvoorbeeld. Het bewijs hiervan komt niet gelijktijdig met het geven van de regel. Hoort dit dan wel thuis in het vak wiskunde, of moet het pas aan bod komen als je de regel wel aannemelijk kan maken? De regel van Euler is er ook zo een. In klas 1 moeten ze die onthouden en gebruiken om te controleren of het aantal vlakken + hoekpunten wel gelijk is aan ribben + 2. Maar ze hoeven van mij deze regel niet te bewijzen. Is het dan wel zinvol? Toch wil je de leerlingen deze mooie regels niet onthouden, daar zijn ze te mooi voor. Net zoals het getal pi. Maar ja, wat moet je ermee?

Exact of een benadering.
Een opvallend verschil tussen wiskunde A en B is dat bij wiskunde B veel vaker een exact antwoord gewenst wordt terwijl bij wiskunde A een benadering met de (grafische) rekenmachine berekening volstaat. Er gaan zelfs stemmen op om de rekenmachine in het geheel te verbieden. Maar hoe verkoop je dat? De leefwereld van leerlingen barst van de (mobiele) apparaten waarop gerekend kan worden. Zonder verdere argumenten vind ik dat de leerlingen vertrouwd moeten raken met de mogelijkheden van mobiele rekenapparaten, gewoon omdat het kan.
Evenzo moeten leerlingen een aantal zaken nog steeds exact uit kunnen rekenen, weer gewoonweg, omdat het kan. Sin15, cos15, tan 15 exact uitrekenen is puur vermaak.
Maar soms vraag je je af: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?
Oké, dat is dan twee-een voor de (grafische) rekenmachine!
Je moet toch ergens tijd winnen om de wiskunde vooruit te helpen...

Computer als hulpmiddel.
Ik ben nu helemaal gelukkig met een smartboard, met twee uitklapborden en laptops voor iedereen. Ik maak liever geen keuze wat beter is, maar een uitbreiding van de mogelijkheden (presentaties, animaties, de DWO, Youtube, Geogebra en de GR), daar kan toch niemand op tegen zijn. Je moet al die hulpmiddelen echter wel op een zinvolle en constructieve manier inzetten, anders kan het averechts werken. En zo ben je het eens met iedereen, of eh... ;-)

Doel van wiskunde

Na het lezen van een artikel op het forum van van de NVvW over "Het echte doel van ons wiskundeonderwijs" en de reacties van Willem van Ravenstein (1 en 2), vind ik dat ik niet achter kan blijven en mijn gedachten hierover moet proberen te formuleren. Door samen "hardop te denken", komen we wellicht allen een stapje verder. Ik heb niet de waarheid in pacht, dus ik laat mij graag overtuigen als ik de plank volledig mis sla of issues aansnijd die volstrekt irrelevant zijn of zaken veel te simpel voorstel. Ik doe een poging het doel van wiskunde te omschrijven zonder dat ik me beperk tot een specifieke doelgroep. Ai, gewaagd dus :-)

Het echte doel van wiskunde (versie DD 3 maart 2013)

Vermaak.
Net zoals het lezen van een boek, een film kijken, muziek luisteren, sporten, een spelletje doen, is wiskunde doen vooral bezig zijn met leuke, interessante of vernuftige dingen die anderen bedacht hebben. Gewoon vermaak dus. Ik mis soms wel de vrijheid om zelf te bepalen wat leuk is. Altijd maar tijd te kort om de opgelegde leerdoelen te halen, laat staan tijd voor eigen inbreng. Er is wel een verschil tussen het beoefenen en het aanschouwen van wiskunde, net zoals bij alle andere disciplines, maar beide varianten kunnen zeer vermakelijk zijn. Denk maar aan voetbal. Je leert niet voetballen door alleen naar wedstrijden te kijken, maar voornamelijk door meedoen en trainen. Bij wiskunde is dat niet anders denk ik.

Afwisseling.
Stuur 30 pubers bij elkaar op werkweek zonder programma, het wordt waarschijnlijk een puinhoop. Hetzelfde geldt in het klaslokaal. Lessen moeten invulling krijgen. Je moet er niet aan denken om altijd maar met hetzelfde bezig te zijn. Wiskunde zorgt dus voor de nodige afwisseling. Het evenwicht tussen de diepte in gaan of juist de breedte opzoeken, is soms lastig te bepalen. Hangt o.a. af in welk stadium op welk niveau de leerlingen zich bevinden, en met wat je wilt bereiken. Maar als je met onderwijs kinderen van de straat houdt, dan moet je wel voor zinvolle invulling zorgen, een gevarieerd programma dus met voldoende afwisseling en uitdaging.

Oriëntatie
Waar liggen je interesses? Wat is je talent. Om daarachter te komen, moet je met vele vakgebieden kennismaken, ook met wiskunde dus. In de verkenningsfase moet je het niet te moeilijk maken, anders haken veel leerlingen te snel af. Ook niet te makkelijk, anders daag je te weinig leerlingen uit. Er moet dus een mix komen van haalbare maar ook determinerende leerdoelen.

Voorlichting
Wiskunde is niet alleen bedoeld om voldoende ondergrond aan te brengen voor het vervolgonderwijs, het is ook zeer belangrijk leerlingen voor te lichten wat erna komen kan of zal. Je moet dus duidelijk aangeven wat op ieder moment basis (nodig om een een voldoende of "de volgende ronde" te halen), verdieping (nodig voor "de tien") of extra stof is (ter voorlichting, advisering, determinatie of gewoon ter vermaak). Verdieping krijgt bij mij vaak het karakter van voorproeven, stof die later uitgebreid aan de orde komt maar die nu in minder tijd eigen gemaakt moet worden, of stof die je zelfs helemaal niet behandelt, maar die logischerwijs wel aansluit op de basisstof en daarmee ook haalbaar is voor enkele leerlingen.

Het zeker willen weten
Wiskunde vertaal ik aan onze nieuwe eersteklassers gemakshalve als de kunst van het gewisse, de kunst van het zeker weten, het zeker willen weten. Het tellen van het aantal vlakken, ribben en hoekpunten van Platonische en Archimedische lichamen bijvoorbeeld, leent zich daar prima voor. Al snel worden de lichamen te complex om vanaf een foto zeker te weten of je goed geteld hebt; dan zoek je slimmere manieren om het uit te rekenen, of om het aantal ribben en hoekpunten met behulp van een sluitende redenering te achterhalen. Wiskunde is, leg ik dan uit,  ook de taal om die berekeningen en redeneringen netjes op te schrijven.

Aanleren van een abstracte taal.
Een belangrijk doel van wiskunde is dus het leren van deze abstracte taal, die in het vo behoorlijk versimpeld is om het voor een breed publiek toegankelijk te maken en houden. Er zit een zekere opbouw in. Het is niet handig als je deze taal direct "in zijn volmaaktheid" wilt aanleren, met definities, axioma's, stellingen en bewijzen, en met alle abstracte notaties die daarbij komen kijken. Alleen een paar bollebozen met een wiskundeknobbel komen daar doorheen. Dat kan niet de bedoeling zijn. Je probeert aan te sluiten op het voorstellingsvermogen van zoveel mogelijk leerlingen, waar mogelijk zelfs op hun belevingswereld. Contexten en toepassingen komen in het huidige wiskundeonderwijs vaak van ver, maar zolang het een toegevoegde waarde heeft om abstracte zaken te doorgronden, is daar m.i. niets mis mee. Echter, doel moet niet het doorgronden zijn van de contexten, doel moet zijn het doorgronden van de wiskunde, al dan niet m.b.v. contexten. Helaas zijn de toetsmakers, en daarmee ook de methodeschrijvers flink doorgeschoten in het te pas en te onpas erbij halen van die contexten en toepassingen. Doel en middel worden hier vaak door elkaar gehaald.

Algemene ontwikkeling.
Het is niet alleen voor jezelf een verrijking als je van veel dingen afweet, het is ook absoluut wenselijk voor een kenniseconomie als Nederland, dat kennis, vaardigheden en inzichten doorgegeven worden aan de volgende generaties. Voor ouders, maakt niet uit welk onderwijs zij zelf genoten hebben, is het belangrijk dat zij hun kroost zo lang mogelijk kunnen blijven ondersteunen bij hun schoolwerk, bij het aanleren van studievaardigheden, bij het helpen met het huiswerk, maar ook bij het motiveren en stimuleren om door te zetten. Dat gaat toch allemaal een stuk makkelijker als je er zelf ook wat vanaf weet.

Systematisch denken en gestructureerd werken.
Bij systematisch te werk gaan (bijvoorbeeld bij combinatoriek) is het belangrijk dat je niets vergeet en niets dubbel telt. Het systematisch afgaan van alle mogelijkheden is een nuttige oefening voor alle mensen, op welk niveau dan ook. Al handig bij het lopen met een winkelwagen door een supermarkt.

Leren noteren
Niet alleen bij wiskunde, maar bij heel veel vakgebieden is het belangrijk om op te schrijven wat je onderweg bedenkt, dat je niet alleen het antwoord op of de oplossing opschrijft, maar ook de aanpak die je gevolgd hebt. Daar is oefening voor nodig. Wiskunde leent zich daar uitstekend voor.

Gecijferdheid
Het vo heeft de taak aan te sluiten op het rekenonderwijs uit het po. Het is inderdaad belangrijk dat iedereen voldoende "gecijferd" is om te kunnen functioneren in onze maatschappij. Met de beschrijving van de referentieniveaus is niet zoveel mis, wel met de consequentie dat het vo gedwongen wordt om rekendoelen "over te nemen" in plaats van erop "aan te sluiten", zonder dat er goed gekeken wordt welke gevolgen dat heeft voor het verloop van andere zaken in het vo. Er komt in het vo wel van alles bij, maar er gaat ergens anders niets van af. Het is voor ieder schooltype belangrijk welke doelen minimaal gehaald dienen te worden, maar ook dat er een concreet plan van aanpak komt voor leerlingen die die doelen niet binnen de gestelde tijd halen. Dat betekent of geen toegang tot bepaald vervolgonderwijs, of het bijstellen van de doelen in het vervolgonderwijs, of het mogelijk maken in het vervolgonderwijs om alsnog aan de minimale doelen te werken, of desnoods verplicht bijspijkeren tijdens een tussenjaar o.i.d.

Determineren.
Doel van wiskunde is wellicht ook bewijzen dat je een bepaald denkniveau aan kan. En samen met de andere vakken en bezigheden ook bewijzen hoeveel je tegelijk aankan. In advertenties wordt vaak een bepaald denk- of werkniveau gevraagd. Een diploma, een toegangskaartje, zegt weinig over welke kennis, vaardigheden of inzichten zijn opgedaan.  Een cijferlijst geeft daarvan een beter beeld, maar is ook niet volledig betrouwbaar. Ik vermoed dat het verplicht (willen) stellen van wiskunde voor alle leerlingen te maken heeft met het grote determinerende aspect van ons vak. Maar mocht het waar zijn dat wiskunde daarvoor misbruikt wordt, dan wordt het hoog tijd dat er bij andere vakken strenger gedetermineerd gaat worden, zodat wiskunde met minder leerlingen minder 'de rem erop' hoeft te houden. Het werk- en denkniveau moet absoluut niet te veel rusten op wiskunde. Zonder wiskunde kan je heel gelukkig worden en prima nadenken over aardse zaken:-)

Opbouwen van kennis, vaardigheden en inzicht
Als je wel door wilt met wiskunde, of als je wiskunde nodig hebt ter ondersteuning, dan moet er zorgvuldig gewerkt worden aan een bouwwerk van begrippen, vaardigheden en inzichten. Het moet voor alle schooltypes en overgangen duidelijk zijn welke leerdoelen minimaal gehaald moeten worden om goed aan te sluiten op het vervolgonderwijs. Daar ontbreekt het volgens mij nu vaak aan. Het hoger onderwijs (ho en wo) maakt in mijn optiek onvoldoende duidelijk welke wiskundedoelen gehaald moeten worden, laat staan met welke kwaliteit. Veel vaker zouden entree-toetsen of proefmodules aangeboden moeten worden, louter ter voorlichting, zodat voor aankomende studenten duidelijk is wat hen te wachten staat en zij op tijd weten waar ze naar toe moeten werken. Tussendoelen voor havo(vwo) zouden richtinggevend moeten zijn voor vmbo leerlingen die door willen stromen naar het havo. Voor MBO leerlingen die willen doorstomen naar het HBO moet wiskunde toch minstens op hetzelfde niveau aangeboden worden als op het havo. Zou er niet meer aan tempodifferentiatie gedaan moeten worden, waarbij eenieder probeert zover mogelijk te komen met wiskunde, op welk onderwijstype dan ook.

Conclusie
Iedereen moet kennisgemaakt hebben met wiskunde, maar je moet het niet overdrijven. Voor mensen die niets met wiskunde hebben, haal het alsjeblieft vanaf een bepaald moment uit het programma en geef daarbij duidelijk aan welke wegen daarmee afgesneden worden. Of welke bijspijkercursussen gevolgd moeten worden om alsnog toegelaten te worden tot vervolgonderwijs. Concrete leerdoelen heb ik nauwelijks genoemd. Kennelijk zijn die minder belangrijk dan we denken. Veel leerdoelen zijn inwisselbaar voor andere. Belangrijk wel is dat de wiskunde consistent opgebouwd is en dat er voldoende aansluiting is tussen de verschillende onderwijstypes. Over niveaus spreek ik liever niet, vind dat nogal denigrerend naar mensen toe met prachtige andere talenten. Tempodifferentiatie bij wiskunde is wellicht de oplossing voor betere aansluiting en hogere waardering van alle onderwijstypes.

Slotwoord.
Tja, je moet er een keer een eind aan breien, maar sommige issues zijn nog niet ter sprake gekomen, onder andere die van de GR. Niet het wel of niet gebruiken van de GR bepaalt hoe diep je de wiskunde betreedt. Dat zijn nog altijd de leerdoelen die je stelt en de wijze waarop je die waardeert. Het zou toch van de gekke zijn dat we moderne middelen als de GR of computer niet inzetten in ons hedendaagse onderwijs.  In Nederland hechten we veel waarde aan onze eindexamens. Teaching-to-the-test is dan onvermijdelijk. Moeten de examens, de normeringen en de cesuur dan niet eens flink onder de loep genomen worden en worden aangepast? De schuld geven aan de de GR dat we minder ver of minder diep komen bij wiskunde is mij veel te makkelijk. En dat het gebruik van de GR of contexten "het aanwakkeren van een creatief oplossingsvermogen zou verhinderen ...", ik mis de onderbouwing daarvan. Met pure mechanistische, context- en GR-loze receptwiskunde, kun je creativiteit behoorlijk doodslaan. Creativiteit wakker je aan door zelf creatief met wiskunde om te gaan. Hoe, dat is een een andere vraag dan wat of waarom. Daar bestaan de lerarenopleiding, de werkvloer en de sociale media voor om dat uit te vinden :-)

Nog een oneliner:
Wiskunde leren zonder inzicht is zo doelloos, zo zinloos.

Hoe laat is het?

Loading [MathJax]/extensions/MathMenu.js

Het is alweer $9+\frac{9}{\sqrt{9}}$ uur geweest.




MathJax werkt in blogger:
http://irrep.blogspot.nl/2011/07/mathjax-in-blogger-ii.html

En met de scriptregel zoals hieronder, werkt het ook op mobiel

Formules maak je dan in MathType:
http://www.dessci.com/en/support/MathType/works_with.asp#!target=mathjax



$\sqrt{3x-1}+(1+x)^2$


$P(E) = {n \choose k} p^k (1-p)^{ n-k}$


$\frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} = 1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}} {1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } }$

Moderner en gerichter actie voeren

bron

Waarom ik liever niet staak.

• Opbrengst weegt vaak niet op tegen nadelige gevolgen van lesuitval voor mezelf en voor mijn leerlingen. Wat kun je bereiken zonder te staken?
• Waarvoor je staakt niet duidelijk genoeg. Je wordt vaak opgeroepen om het werk neer te leggen voor meerdere issues tegelijk. Zijn alle punten wel voldoende haalbaar? En ben ik het wel met alle punten eens?
• Vaak is slechts een klein deel van de docenten bereid om te staken. Daardoor lijkt een minderheid ontevreden en dat werkt averechts. Het maakt zichtbaar dat het voor de meerderheid kennelijk nog niet schrijnend genoeg is.
• Staken is niet bedoeld om je onvrede te ventileren, maar om je eisen kracht bij te zetten. Dus als je staakt, dan ga je ook net zolang door totdat je bereikt hebt wat vooraf als haalbaar en noodzakelijk is vastgesteld. Verwar staken dus niet met demonstreren.
• Ik word liever niet geassocieerd met de malle berichtgeving vanuit de media.

Maar hoe dan wel?

• Is een draagvlakmeting niet genoeg om een duidelijk signaal af te geven. Het moet toch mogelijk zijn om als docent met enkele muisklikken je mening te geven over belangrijke beleidspunten in het onderwijs. Neem bijvoorbeeld docentnummer als primaire sleutel.
• En dan goed afbakenen waarvoor je een mening geeft, waarbij de belangrijkste argumenten voor en tegen duidelijk op een rij zijn gezet. 
• Onderwijsbeleid waarvoor absoluut onvoldoende draagvlak is, zouden we collectief niet moeten uitvoeren. Door ons goed te organiseren moet het onmogelijk worden dat scholen hierop apart afgerekend kunnen worden. Samen staan we sterk.
• Als beleidsmakers geconfronteerd worden met de onuitvoerbaarheid van hun beleid, wellicht worden docenten dan voortaan vooraf betrokken bij het maken van nieuwe plannen.

Rekenbeleid VWO

Afgelopen jaren heb ik de ontwikkelingen gevolgd omtrent de in 2013/2014 in te voeren verplichte rekentoets. Ik verwachtte voor het vwo geen geen problemen aangezien dezelfde toets ook afgenomen zou worden op HAVO niveau. Bovendien hebben wij in 2010/2011 een diagnostische rekentoets van het CITO afgenomen in G3 waarvoor bijna al onze derdeklassers slaagden. Samen met het vermoeden dat in het vo leerlingen "vanzelf" beter worden naarmate ze ouder worden (min of meer bevestigd door Rekenen in Beeld), vond ik het niet nodig alarm te slaan bij de schoolleiding, tot het moment van de kamerbrief juni 2012. Hierin staat vermeld dat slechts 68% van de vwo leerlingen geslaagd is voor de pilot rekentoets maart 2012 met een gemiddeld cijfer van 6,7.



Tot nu toe hadden we in klas 1 een (digitaal) rekenprogramma met vooral "kale" rekensommen, zonder context dus, meer gericht op niveau 2S (formeel, abstract rekenen) dan op niveau 2F (functioneel rekenen, nodig om in onze maatschappij te kunnen functioneren). Contexten genoeg in het vo bij de rekenvakken, dus het leek me overbodig om bij rekenen eveneens daarop accent te leggen. Volgens mij bestond de maatschappelijke onvrede over het rekenniveau niet zozeer uit het niet kunnen oplossen van verhaaltjessommen met rekenmachine, maar vooral uit het niet goed kunnen hoofdrekenen en het niet goed kunnen rekenen met een kladblaadje. Vraag is überhaupt wel of je daar in het tijdperk van computers en mobiele apparaten nog heel veel tijd aan wil besteden op de middelbare school.

Als aanvulling op het Nederlandse realistische rekenonderwijs leek het mij juist zinvol om op vwo niveau aandacht te besteden aan begrip en notaties bij rekenen, als ondergrondje voor de algebra bij wiskunde. Voorbeeld: 243 - 67 - 33 is met een handige tussenstap 243 - 100, maar met een tussenstap volgens de voorrangsregels 176 - 33. De handige methode, waarbij je er in totaal 100 vanaf haalt, dient hier als ondergrondje voor het latere a - b - c = a - (b + c).  Wel vaker gebruik je in de algebra een getallenvoorbeeld om een en ander te verduidelijken, maar dan moet dat getallenvoorbeeld voor de leerlingen wel gesneden koek zijn natuurlijk. Ook in dit voorbeeld wordt duidelijk dat er voldoende aandacht moet zijn voor het het onderhouden van het simpele rekenwerk. Dat kan heel goed tijdens wiskunde als de voorrangsregels aan bod komen. Dat het verstandig is om de rekenmachine niet blind te vertrouwen bewijst wel dit plaatje. En dat Meneer van Dalen al een tijdje niet meer geldt, kun je hier lezen. Kortom er zijn genoeg aanknopingspunten om rekenen aan bod te laten komen zonder dat je daar opnieuw saaie rekenboeken voor moet doorwerken. Een paar gerandomiseerde opgaven in een digitaal rekenprogramma moet voldoende zijn. Dat levert maatwerk. De goede rekenaar is na een keer klaar. De zwakke rekenaar kan eindeloos oefenen.

Met een gerandomiseerde vermenigvuldigingsopgave als 678 x 789 test je niet alleen of ze de tafels goed beheersen en over de 10 kunnen rekenen, maar ook of ze een nette foutloze notatie aangeleerd hebben. Zelfs een zeer vervelende deelsom als deze kan zinvol zijn, mits je accent legt op inzicht, notatie en onderliggend hoofdrekenen. Het inslijpen van de vaardigheid van deze moeilijke sommen zelf, vind ik minder belangrijk, daar hebben we immers nu voldoende hulpmiddelen voor bij de hand, en als dat op de lagere school niet gelukt is, dan zullen we het op de middelbare school waarschijnlijk ook niet even snel voor elkaar krijgen. Het gaat vooral om het onderhouden van de onderliggende rekenvaardigheden en het gestructureerd werken. Naast ons rekenprogramma in klas 1 adviseren wij vooral de zwakke rekenaars om regelmatig de sommen op www.rekenbeter.nl te maken. De verantwoordelijkheid rekenvaardig te blijven leggen we daarmee ook bij de leerling en ouders zelf. Als leerlingen vastlopen of hulp nodig hebben, dan zijn ze welkom op steunles rekenen.

Mijns inziens moet het rekenonderwijs op het vwo zich in de onderbouw richten op niveau 2S en in de bovenbouw op 3S, terwijl nog steeds onbesloten is op welk niveau de eindtoets op het vwo afgenomen zal worden. De rekentoetswijzers van niveau 2F en 3F staan hier maar nu publicatie van het concept van de rekentoetswijzer 3S over de zomervakantie getild is (zie wiskundebrief 589 en 603), verwacht ik op korte termijn voor de eindtoets vwo geen wijziging meer van 3F naar 3S. Dit wil nog niet zeggen dat we nu het roer om moeten gooien en onze aandacht volledig moeten richten op 3F.  Niveau 3F is niet meer dan 2F met iets ingewikkeldere contexten, hier en daar een gegeven overbodig of een (denk)stapje extra. Als onze leerlingen in staat zijn de contextrijke vraagstukken van het huidige CSE te maken, dan moet zo'n rekentoets in G5 of G6 ook wel lukken, toch?

Maar nu blijkt dat een derde deel van de vwo leerlingen in de laatste rekenpilot 3F toch een onvoldoende gehaald heeft, zijn we dan nog wel goed bezig? Moeten we ons nu zenuwachtig maken?
Ik denk het niet. De normering van de rekentoets wordt vast achteraf vastgesteld, op zo'n manier dat niet te veel leerlingen zullen zakken. Dat hebben we gezien bij het vaststellen van de N-termen...
Uiteindelijk hoeven we niet veel anders te doen dan wat we nu doen, denk ik. Er moet wel meer tijd en ruimte vrijgemaakt worden om wis- en rekendidaktiek bij de verschillende rekenvakken beter op elkaar af te stemmen, en waar nodig moeten middelen beschikbaar gesteld worden om leerlingen die een onvoldoende dreigen te halen, remediale hulp te kunnen bieden. Daarvoor zouden we diagnostische toetsen moeten afnemen en hierop een plan van aanpak maken. In G5 volgend jaar hebben de leerlingen bij wiskunde bij ons een extra uur gekregen (vanwege de veranderende uitslagregel). Liever een uur extra in de onderbouw natuurlijk, daar komen we echt tijd te kort, maar in dit extra uur moet het mogelijk zijn om leerlingen voor te bereiden op komende rekentoets.

Grootste punt van aandacht voor volgend jaar is hoe je de docenten van de verschillende rekenvakken op een lijn krijgt wat betreft didactiek en verdeling van de leerdoelen. Ik denk niet dat het verstandig is om de verantwoordelijkheid te spreiden over verschillende secties. Wie is dan nog aanspreekbaar op tegenvallende resultaten? Toch moeten we het samen doen, maar de eindverantwoordelijkheid moet denk ik liggen bij 1 sectie. De wiskundesectie ligt het meest voor de hand, waarbij een aantal leerdoelen gedelegeerd moeten worden aan de vakken economie, aardrijkskunde en de BINAS vakken. Zolang de wiskundesectie de boel aanstuurt, controleert en eventueel repareert, dan lijkt me dat voor komende generale repetitie afdoende. Leerlingen die voor deze generale slagen, krijgen vrijstelling voor de eerste rekentoets van 2013/2014. Leerlingen die er niet voor slagen, tja eerst zien, dan geloven.

Dus samenvattend denk ik dat de wiskundesectie het voortouw moet nemen. Komend jaar in G5 een diagnostische toets afnemen (de pilot van 2012 bijvoorbeeld). Deze uitgebreid bespreken met de leerlingen. Leerdoelen vaststellen en verdelen over de verschillende vakken. Secties gaan na met welke leerdoelen zij in hun eigen vak iets kunnen. Geschikt materiaal zoeken voor doelen die overblijven. Tijdens wiskunde extra rekenlessen verzorgen. Voor de zwakste rekenaars RT aanbieden. In klas 1 rekenprogramma continueren. In overige leerjaren docenten beter bewust maken van de leerdoelen (o.a. via de rekentoetswijzers en de D-toets). Vragen om tijdens de lessen bewust om te gaan met de rekenmachine en de rekendoelen.

Echter zo vlak voor de vakantie stel ik toch enkele knelpunten vast die aandacht behoeven.

1. In klas 1 is de werkdruk voor leerlingen te hoog. Ons rekenprogramma (wachtwoord: 'geen') in klas 1 wordt vanuit het vak wiskunde aangestuurd en versterkt daarmee het gevoel van hoge werkdruk bij wiskunde. De eerste drie onderdelen (Handig, Schatten en Cijferen) worden weliswaar volledig thuis gemaakt, toch ben je wel een hoop lestijd kwijt aan instructie en toetsing. Vandaar dat we hebben besloten dat we deze onderdelen nog wel voorschrijven, maar niet meer toetsen voor een cijfer. Hiermee komt de verantwoordelijkheid voor een groot deel bij de leerling (en de ouders) te liggen. De laatste drie onderdelen (breuken, verhoudingen en metriek) toetsen we nog wel voor een cijfer. Bij de gelijknamige wiskundehoofdstukken testen we het rekenen zonder rekenmachine steeds in een so, en het rekenen met rekenmachine in het eindproefwerk. Daar moeten ze immers ook verstandig mee leren omgaan.
2. Als school wil je zoveel nieuwe dingen opzetten. Is er dan nog wel tijd voor rekenbeleid, om de verschillende secties bij elkaar te brengen om op 1 lijn te komen? Om de docenten bewust te maken van de verschillende niveaus? Om leerdoelen te verdelen? Amper. Maar het moet wel. Wellicht kunnen we dat met moderne hulpmiddelen meer op afstand voor elkaar krijgen, want veel tijd voor overleg (face-to-face) is er niet.
3. Meeste materialen die ik heb gezien zijn niet toereikend. Van de rekenboekjes voor de onderbouw van G&R of MW word je ook niet echt vrolijk. Als je al geen hekel had aan rekenen, dan krijg je het wel van die boekjes. Leerlingen die al goed waren, hebben het niet nodig. Leerlingen die er moeite mee hebben krijgen dat bevestigd. Een digitale adaptieve toets, met intelligente feedback, met ruimte voor verschillende aanpakken en notaties, maar ook met een volgsysteem, zou uitkomst bieden. Ik heb 'm nog niet gezien.
4. Problemen moeten aangepakt worden op het moment dat ze ontstaan, op de lagere school dus. Het is eigenlijk ondoenlijk om de leerlingen op de middelbare school extra te belasten met rekenonderwijs, zonder dat er elders iets vanaf gaat.
5. Vreemd maar waar, het staat nog steeds niet vast of vwo getoetst gaat worden op niveau 3F of 3S. 
6. Groot deel (80%) van de toets mag met rekenmachine, 20% niet. Hoe organiseer je dat bij een pdf versie van de diagnostische toets?
7. Er zijn afgelopen jaren veel diagnostische toetsen verschenen, maar met behoorlijk veel niveauverschillen. Welk toets heeft het juiste niveau? Of zijn de Rekenresultaten in drie jaar sterk achteruit gegaan?
8. Hoe straks om te gaan met two strikes out?
9. Onduidelijk nog of en hoeveel geld er komend jaar beschikbaar komt voor rekenbeleid. Dit jaar was daar geen geld voor, maar dat is voor komend jaar niet haalbaar, denk ik.

Maar nu eerst vakantie :-)