Doel van wiskunde (vervolg)

Ik geloof dat ik het (tot nu toe) met een groot deel van de inzendingen eens ben op het forum: "Het echte doel van het wiskundeonderwijs" op de site van de NVvW.  Het lijkt hier en daar dat er een verschil van mening is, maar in sommige gevallen is dat toe te schrijven aan een andere interpretatie van de gebruikte woorden, en bedoelen we toch min of meer hetzelfde. Grappig is dat helderheid enerzijds vraagt om een eenduidige, ondubbelzinnige formulering, een abstracte taal als wiskunde voldoet daaraan, anderzijds moet je soms concreet zijn om duidelijk te maken wat je nu precies bedoelt. Het begrip belevingswereld bijvoorbeeld, wat bedoelen we hiermee? Moet belevingswereld eerst streng gedefinieerd worden voordat je het kan gebruiken, of volstaat een simpele, letterlijke vertaling?

Belevingswereld

Ik vermoed dat aansluiten op de belevingswereld vaak geïnterpreteerd wordt als aansluiten op wat leerlingen meemaken buiten de les. Ik denk dat dat een groot misverstand is. Een groot deel van de tijd brengen leerlingen immers door in de schoolbanken. Maar dan behoort voorkennis ook tot de belevingswereld van leerlingen. Oh, gelukkig! Aansluiten op de belevingswereld is dus ook aansluiten op voorkennis. Opgelost! :-) Belangrijk is wel dat je bij voorkennis niet moet vergeten over de muurtjes van het eigen vakgebied te kijken. Contexten voor wiskunde komen vaak bij andere vakken vandaan. Wiskunde heeft daarmee ook een ondersteunende rol, een rol of doelstelling die ik liever onderbelicht laat, want straks wordt het vak wiskunde nog ingelijfd door natuurkunde of economie. Als je nadenkt over "het doel van wiskunde", dan zijn er dus redenen nodig die wiskunde bestaansrecht geven als zelfstandig vak.

Willem van Ravenstein schrijft in zijn deel 4 over wiskunde:

"Abstractie maakt de wiskunde op meerdere momenten bruikbaar, eenmaal begrepen concepten en structuren worden herkenbaar in andere en zelfs in geheel nieuwe situaties". 

Ik vind dat mooi, echter moet ik ook bekennen dat bij andere vakken wiskunde helaas niet altijd als dusdanig herkend wordt. Ik denk dat op dit punt in ons onderwijs nog veel winst te behalen is, door vakken middels relevante contexten met elkaar te verbinden, door didactiek, aanpak en notaties onderling af te stemmen, maar ook door "van concreet naar abstract", en "van abstract naar concreet" gedoseerd af te wisselen. Ik heb het idee dat methodeschrijvers omwille van profilering te veel kleur bekennen en doorslaan in een van beide richtingen. Getal en Ruimte begint abstract, en komt na veel oefenen aan het eind met een (gekunstelde) toepassing. Moderne Wiskunde construeert meer samen met de leerling de wiskunde zelf, abstractie wordt uitgesteld, maar inzicht krijgt direct volop aandacht met concrete aansprekende contexten.

Context

Een tweede misverstand is dat de wiskunde zelf vaak niet als context gezien wordt. Als voorkennis onderdeel is van de belevingswereld, dan kan ons eigen vakgebied, of rekenen als voorloper daarvan, natuurlijk ook als context dienen. Als voorbeeld van concreet naar abstract noem ik de Ditwis Rijen uit klas 1 (bereken het 37e getal in de rij 3, 5, 7, 9, ...) Met deze vraag trainen we het vinden van een lineaire formule. De context lijkt geen doel te hebben, maar het maakt duidelijk dat een formule niets anders is dan een rekenvoorschrift dat in dit geval het getal uit de rij berekent als je de plek, het nummer van het getal weet. En het leuke is dat ik leerlingen niet hoor mopperen wat nou het doel van die formule is, je kan er immers dat stomme getal mee uitrekenen, dat is doel genoeg, voor even. Ik vrees dat als ik eerst andersom het y = ax + b recept volledig behandel en daarmee laat zien dat je met zo'n formule het zoveelste getal kan uitrekenen, dat leerlingen zich massaal zullen afvragen waarmee ze in vredesnaam bezig zijn. Wat ik bedoel te zeggen is dat als je context toevoegt aan wiskunde, deze bij aanvang een ondersteunende rol moet hebben (om tot inzicht en abstractie te komen); zodra je de context aan het einde toevoegt, de context tot doel maakt, dan moet het wel een verdraaid goede toepassing zijn om nog geloofwaardig over te komen. Het moment waarop je context toevoegt kan dus cruciaal zijn. Verkeerd timen kan leiden tot de gevreesde waarom vraag (waarom moeten we dit leren).

De context hoeft niet eens realistisch te zijn om geloofwaardig over te komen, een uitdagend puzzeltje voldoet prima. Het mag in eerste instantie ook een versimpeld model van de werkelijkheid zijn (wiskunde is ook modelleren). Tien euro abonnement en 20 cent per minuut gesprekskosten is voor mobiel bellen wellicht in dit tijdperk met o.a. gratis belminuten niet realistisch meer te noemen, het is wel een makkelijk voor te stellen model voor de werkelijkheid. Je kan er heel goed een formule mee vinden als in een tabel om de 5 minuten (lekker realistisch) gegeven is welk bedrag betaald moet worden. Contexten kunnen wat mij betreft prima ingezet worden om de weg naar abstractie en de algemene y= ax + b denkwijze te verhelderen.
Een groot deel van de schoolwiskunde bestaat uit het beschrijven van verbanden middels het kwartet context, tabel, grafiek en formule; eerst met slechts twee variabelen, beginnend bij lineaire verbanden, gevolgd door kwadratische-, wortel-, machts-, exponentiële- en hyperbolische verbanden.
Waarom zouden we context dan niet mogen gebruiken in de (school)wiskunde? Tot de macht nul, kun je uitleggen aan de hand van regelmaat, ook met gebruik making van de rekenregels g^a/g^a=g^(a-a) = g^0 = 1, maar toch ook met een context bij exponentiële groei: A(t) = b * g^t  waarbij A(0) = b alleen opgaat als g^0 =1. Wiskunde leer je niet door in de abstractie te blijven hangen, wiskunde leer je door alle mogelijke manieren aan te grijpen om die abstractie te doorgronden. Contexten zijn wat mij betreft een onmisbaar onderdeel in de didactiek om abstracte zaken te verhelderen of om tot abstractie te komen. Zodra de abstractie er is, dan kunnen andere vakken dienen als toepassingsgebieden, kun je weer van abstract naar concreet gaan. Vraag of uitdaging blijft voor mij wel of we door beperking van overlap tussen de verschillende vakken, niet meer tijd kunnen winnen.

Receptwiskunde of zelf (of samen) ontdekken.
Bijkomstig voordeel van zelf de wiskunde (her)ontdekken is dat je dezer wijze vrij natuurlijk (samen) tot meerdere aanpakken komt, je bijvoorbeeld naast het y = ax + b recept ook gelijkwaardige formules met haakjes kunt vinden. Veel docenten (en uitgevers) huiveren voor meerdere aanpakken, verkiezen één recept dat altijd werkt. "Daarmee halen ze de toets tenminste". "Flink oefenen, inzicht komt later wel", zijn kreten die mij welbekend in de oren klinken. Maar strookt deze denkwijze wel met het echte doel van wiskunde? Is het niet juist belangrijk ingewikkelde zaken van meerdere kanten te belichten, zodat leerlingen echt boven de stof (kunnen) komen te staan?
Er zijn docenten die bij rekenen het verkrijgen van een juist antwoord belangrijker vinden dan een begrijpelijke aanpak. Ze zweren bij een strak algoritme dat altijd werkt, maar dat niet per se begrepen hoeft te worden. Ligt het niet meer voor de hand, in het tijdperk van mobiele rekenapparaten, juist meer aandacht te hebben voor het begrijpen van die aanpak? En is voor een goed begrip niet meer nodig dan voordoen en na-apen. Moeten leerlingen niet veel meer zelf aan het denken gezet worden, in plaats van het klakkeloos uitvoeren van een onbegrepen recept? Ik geloof dat de waarheid ergens in het midden ligt. Zelf ontdekken houdt een keer op, sommige dingen verzin je gewoon niet zelf. Receptwiskunde aan de andere kant is soms dodelijk saai en roept vaker dan nodig de waarom vraag op. Het wordt pas leuk als er iets te ontdekken valt. Dat lukt minder makkelijk via een individuele leerroute, gestuurd door de methode. Samen ontdekken is veel leuker en met directe interactie kun je sneller en makkelijker de diepte opzoeken, verschillende aanpakken bekijken, tot een beter begrip komen. Zonder een gids aan je zijde, loop je veel moois voorbij.
Denk nou niet dat ik anti-staartdeling ben of dat ik het ouderwetse cijferen niets vind. Integendeel, ik ben juist voor deze beknopte heldere notaties. Maar het ordelijk en begrijpelijk noteren vind ik veel belangrijker dan het krijgen van het juiste antwoord (alhoewel een goed antwoord ook wel fijn is). Getalbegrip is het doel, niet het snel vinden van het juiste antwoord. Die strijd moet je niet willen winnen van een rekenapparaat, toch? Ik vrees dat tegenwoordig de "snelle leerling" op de lagere school te vaak "weggezet" wordt met een rekenboekje. Aandacht gaat vooral naar de leerlingen die moeilijk mee komen. Ook op de middelbare school worden bij wiskunde de snelle leerlingen overgeleverd aan de methode, waarbij (extra) stof zelfstandig doorgewerkt moet worden terwijl de docent bezig is het aantal onvoldoendes in de klas probeert te beperken. Dat verklaart wellicht de receptwiskunde van Getal en Ruimte, waarmee leerlingen in eigen tempo de stof kunnen doorwerken, en zonder docent een heel eind kunnen komen. Best knap, zo'n snelweg naar het eindexamen. En het werkt ook nog. Verreweg de meesten slagen. Ik verkies toch liever de groene route. Af en toe verkeerd rijden. Stilstaan bij mooie ontdekkingen. Je bent iets langer onderweg, maar je hebt wel meer het idee zinvol bezig te zijn, dat je interessante dingen leert. Met zelf of samen ontdekken krijg ik minder de waarom vraag, dan met zelfstandig, methode gestuurde recept-wiskunde.

Vaardigheden versus inzicht
Vaardigheden zijn nodig om inzicht te laten beklijven, om het geleerde te verankeren. Te veel oefening leidt tot de gevreesde waarom-vraag, te weinig tot onvoldoende beheersing. Het op tijd heen en weer schakelen tussen concreet en abstract, tussen vaardigheden en nieuwe inzichten, moet leerlingen bij de les houden. Opvallend vind ik dat er in de bestaande methodes veel bezuinigd wordt op inzicht. Maakt dat vaardigheden niet tot een doelloze bezigheid? Het antwoord op de vraag "wat kan je hiermee" wordt in de methodes (en examens) dan gezocht in vaak onwerkelijke toepassingen, waarmee de zin van wiskunde alleen maar nog meer in twijfel getrokken wordt. Werkelijk doel is toch komen tot nieuw inzicht, het verder doorgronden van de wiskunde, waarmee niet alleen op eigen vakgebied maar ook bij de andere vakgebieden terreinwinst gemaakt kan worden. In de de tijd dat ik op een (i)vmbo werkte, zag ik dat de methode bijna geheel ontdaan was van inzicht. Moet je dan nog wel wiskunde aanbieden, vraag ik me dan af. Kun je dan niet beter louter werken aan gecijferdheid? Of inzetten op vaardigheden die nauw aansluiten op de toekomstige beroepsuitoefening? Of gericht inzetten op vooral ondersteuning van andere vakken. Is het leren van wiskundige vaardigheden zonder inzicht wel zinvol? Heeft wiskunde met puur inzetten op vaardigheden wel bestaansrecht als zelfstandig vak? Waar het nodig is om aansluiting te vinden voor het vervolg onderwijs, tja, dan moet wiskunde op het programma blijven staan. Verder mag het van mij uit de lessentabel als je er verder nooit meer iets mee doet. Integreer het maar met andere vakken. Maar waar wiskunde overeind blijft, durf dan ook te vragen, houd de markante bewijzen erin, van wortel twee is geen breuk tot de hoeken-issue bij Pythagoras. Waarom wordt daarop bezuinigd? Waarom wordt dat weggedrukt als verdieping?

Wiskunde A, B, C en D
Tot op heden is wiskunde C op het vwo bijna gelijk aan wiskunde A, minus hypothese toetsen, differentiëren en wat algebraïsche vaardigheden. Het is mij niet helemaal helder, waarom in de voorbereiding op het wetenschappelijk onderwijs, waarin onderzoekers worden opgeleid, juist hypothese toetsen geschrapt wordt. Is haalbaarheid meer doorslaggevend voor de inhoud dan aansluitng op het vervolgonderwijs? En waarom zit er geen logica in de verschillende verplichte wiskunde varianten, dat is toch voor iedereen leuk en relevant? Wiskunde C als uitgeklede versie van wiskunde A, mag wat mij betreft van de lessentabel verdwijnen, maar een wiskunde C die werkelijk voorbereidt op het vervolgonderwijs, mag blijven.
Het is net zozeer vreemd dat leerlingen die NT met wiskunde B gedaan hebben zonder wiskunde D in het pakket een TU mogen instromen. Waarom geven vervolgopleidingen niet veel duidelijker aan welke leerdoelen nodig zijn om een gerede kans van slagen te hebben. Als we het hebben over het doel van wiskunde, dan heeft het vervolgonderwijs een belangrijke taak bij het aangeven van de leerdoelen die als voorkennis noodzakelijk of gewenst geacht worden. Gebeurt dat wel voldoende?
Op het vwo lijkt me statistiek, waarschijnlijkheidsleer (kans) en logisch redeneren onmisbaar als ondergrond voor wetenschappelijk onderwijs. Ik begrijp wel dat, naast de roep om wiskunde op een gegeven moment te kunnen laten vallen, er ook behoefte is aan een wiskundevariant die voor alle profielen op het vwo verplicht wordt gesteld. Voor het havo zou de onderbouw wiskunde misschien genoeg moeten zijn als gemeenschappelijk deel. Ik ben benieuwd wat wiskunde alfa en beta ons zal brengen.

Kennen, kunnen, begrijpen.
Samenvattingen in de wiskundeboeken worden vaak misbruikt om vlak voor de toets te kijken waar het hoofdstuk over gaat, om zodoende nog proberen enkele vragen goed te beantwoorden. Het lijkt een beetje op paniekvoetbal, de laatste minuut de keeper naar voren sturen, in de hoop nog een punt te scoren. Het getuigt niet echt van een goede wedstrijd, of van een goede voorbereiding. Veel zinvoller is het om leerlingen zelf een samenvatting te laten maken of bijhouden. Het maken van een kennen-kunnen-begrijpen-lijst is aan te bevelen. In de kennen-kolom (weten) komen de nieuwe begrippen, regels, weetjes die ze geleerd hebben, in de kunnen-kolom wat ze moeten kunnen uitrekenen, tekenen of beredeneren (voordoen, gebruiken), en in de begrijpen-kolom komt wat je moet kunnen bewijzen of uitleggen (het vereiste inzicht waarom iets werkt). De regel voor de inhoud van een piramide bijvoorbeeld moet je kennen (weten, onthouden), kunnen (er mee rekenen, gebruiken) en begrijpen (aannemelijk maken dat de regel klopt). Deze drie beheersingsniveaus laten zich in klas 1 makkelijk toelichten met bijvoorbeeld hoe je breuken vermenigvuldigt.
3/4 * 2/5 = 3/10 (je hebt het antwoord onthouden, kennen is weten)
3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/10 (niveau kunnen, uitvoeren, voordoen)
3/4 * 2/5 tekenen en inzichtelijk maken waarom de regel (T*T)/(N*N) werkt (begrijpen dus)
Zo probeer je bij wiskunde de begrijpen kolom zoveel mogelijk gevuld te laten zijn, dan hoef je ook minder te onthouden en minder te oefenen. Als ik op zoek ga naar voorbeelden waarbij het niet lukt om leerlingen begrip bij te brengen bij geleerde vaardigheden, dan vraag ik me direct af wat dan de zin daarvan is. De oppervlakte en inhoud van een bol bijvoorbeeld. Het bewijs hiervan komt niet gelijktijdig met het geven van de regel. Hoort dit dan wel thuis in het vak wiskunde, of moet het pas aan bod komen als je de regel wel aannemelijk kan maken? De regel van Euler is er ook zo een. In klas 1 moeten ze die onthouden en gebruiken om te controleren of het aantal vlakken + hoekpunten wel gelijk is aan ribben + 2. Maar ze hoeven van mij deze regel niet te bewijzen. Is het dan wel zinvol? Toch wil je de leerlingen deze mooie regels niet onthouden, daar zijn ze te mooi voor. Net zoals het getal pi. Maar ja, wat moet je ermee?

Exact of een benadering.
Een opvallend verschil tussen wiskunde A en B is dat bij wiskunde B veel vaker een exact antwoord gewenst wordt terwijl bij wiskunde A een benadering met de (grafische) rekenmachine berekening volstaat. Er gaan zelfs stemmen op om de rekenmachine in het geheel te verbieden. Maar hoe verkoop je dat? De leefwereld van leerlingen barst van de (mobiele) apparaten waarop gerekend kan worden. Zonder verdere argumenten vind ik dat de leerlingen vertrouwd moeten raken met de mogelijkheden van mobiele rekenapparaten, gewoon omdat het kan.
Evenzo moeten leerlingen een aantal zaken nog steeds exact uit kunnen rekenen, weer gewoonweg, omdat het kan. Sin15, cos15, tan 15 exact uitrekenen is puur vermaak.
Maar soms vraag je je af: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?
Oké, dat is dan twee-een voor de (grafische) rekenmachine!
Je moet toch ergens tijd winnen om de wiskunde vooruit te helpen...

Computer als hulpmiddel.
Ik ben nu helemaal gelukkig met een smartboard, met twee uitklapborden en laptops voor iedereen. Ik maak liever geen keuze wat beter is, maar een uitbreiding van de mogelijkheden (presentaties, animaties, de DWO, Youtube, Geogebra en de GR), daar kan toch niemand op tegen zijn. Je moet al die hulpmiddelen echter wel op een zinvolle en constructieve manier inzetten, anders kan het averechts werken. En zo ben je het eens met iedereen, of eh... ;-)

Doel van wiskunde

Na het lezen van een artikel op het forum van van de NVvW over "Het echte doel van ons wiskundeonderwijs" en de reacties van Willem van Ravenstein (1 en 2), vind ik dat ik niet achter kan blijven en mijn gedachten hierover moet proberen te formuleren. Door samen "hardop te denken", komen we wellicht allen een stapje verder. Ik heb niet de waarheid in pacht, dus ik laat mij graag overtuigen als ik de plank volledig mis sla of issues aansnijd die volstrekt irrelevant zijn of zaken veel te simpel voorstel. Ik doe een poging het doel van wiskunde te omschrijven zonder dat ik me beperk tot een specifieke doelgroep. Ai, gewaagd dus :-)

Het echte doel van wiskunde (versie DD 3 maart 2013)

Vermaak.
Net zoals het lezen van een boek, een film kijken, muziek luisteren, sporten, een spelletje doen, is wiskunde doen vooral bezig zijn met leuke, interessante of vernuftige dingen die anderen bedacht hebben. Gewoon vermaak dus. Ik mis soms wel de vrijheid om zelf te bepalen wat leuk is. Altijd maar tijd te kort om de opgelegde leerdoelen te halen, laat staan tijd voor eigen inbreng. Er is wel een verschil tussen het beoefenen en het aanschouwen van wiskunde, net zoals bij alle andere disciplines, maar beide varianten kunnen zeer vermakelijk zijn. Denk maar aan voetbal. Je leert niet voetballen door alleen naar wedstrijden te kijken, maar voornamelijk door meedoen en trainen. Bij wiskunde is dat niet anders denk ik.

Afwisseling.
Stuur 30 pubers bij elkaar op werkweek zonder programma, het wordt waarschijnlijk een puinhoop. Hetzelfde geldt in het klaslokaal. Lessen moeten invulling krijgen. Je moet er niet aan denken om altijd maar met hetzelfde bezig te zijn. Wiskunde zorgt dus voor de nodige afwisseling. Het evenwicht tussen de diepte in gaan of juist de breedte opzoeken, is soms lastig te bepalen. Hangt o.a. af in welk stadium op welk niveau de leerlingen zich bevinden, en met wat je wilt bereiken. Maar als je met onderwijs kinderen van de straat houdt, dan moet je wel voor zinvolle invulling zorgen, een gevarieerd programma dus met voldoende afwisseling en uitdaging.

Oriëntatie
Waar liggen je interesses? Wat is je talent. Om daarachter te komen, moet je met vele vakgebieden kennismaken, ook met wiskunde dus. In de verkenningsfase moet je het niet te moeilijk maken, anders haken veel leerlingen te snel af. Ook niet te makkelijk, anders daag je te weinig leerlingen uit. Er moet dus een mix komen van haalbare maar ook determinerende leerdoelen.

Voorlichting
Wiskunde is niet alleen bedoeld om voldoende ondergrond aan te brengen voor het vervolgonderwijs, het is ook zeer belangrijk leerlingen voor te lichten wat erna komen kan of zal. Je moet dus duidelijk aangeven wat op ieder moment basis (nodig om een een voldoende of "de volgende ronde" te halen), verdieping (nodig voor "de tien") of extra stof is (ter voorlichting, advisering, determinatie of gewoon ter vermaak). Verdieping krijgt bij mij vaak het karakter van voorproeven, stof die later uitgebreid aan de orde komt maar die nu in minder tijd eigen gemaakt moet worden, of stof die je zelfs helemaal niet behandelt, maar die logischerwijs wel aansluit op de basisstof en daarmee ook haalbaar is voor enkele leerlingen.

Het zeker willen weten
Wiskunde vertaal ik aan onze nieuwe eersteklassers gemakshalve als de kunst van het gewisse, de kunst van het zeker weten, het zeker willen weten. Het tellen van het aantal vlakken, ribben en hoekpunten van Platonische en Archimedische lichamen bijvoorbeeld, leent zich daar prima voor. Al snel worden de lichamen te complex om vanaf een foto zeker te weten of je goed geteld hebt; dan zoek je slimmere manieren om het uit te rekenen, of om het aantal ribben en hoekpunten met behulp van een sluitende redenering te achterhalen. Wiskunde is, leg ik dan uit,  ook de taal om die berekeningen en redeneringen netjes op te schrijven.

Aanleren van een abstracte taal.
Een belangrijk doel van wiskunde is dus het leren van deze abstracte taal, die in het vo behoorlijk versimpeld is om het voor een breed publiek toegankelijk te maken en houden. Er zit een zekere opbouw in. Het is niet handig als je deze taal direct "in zijn volmaaktheid" wilt aanleren, met definities, axioma's, stellingen en bewijzen, en met alle abstracte notaties die daarbij komen kijken. Alleen een paar bollebozen met een wiskundeknobbel komen daar doorheen. Dat kan niet de bedoeling zijn. Je probeert aan te sluiten op het voorstellingsvermogen van zoveel mogelijk leerlingen, waar mogelijk zelfs op hun belevingswereld. Contexten en toepassingen komen in het huidige wiskundeonderwijs vaak van ver, maar zolang het een toegevoegde waarde heeft om abstracte zaken te doorgronden, is daar m.i. niets mis mee. Echter, doel moet niet het doorgronden zijn van de contexten, doel moet zijn het doorgronden van de wiskunde, al dan niet m.b.v. contexten. Helaas zijn de toetsmakers, en daarmee ook de methodeschrijvers flink doorgeschoten in het te pas en te onpas erbij halen van die contexten en toepassingen. Doel en middel worden hier vaak door elkaar gehaald.

Algemene ontwikkeling.
Het is niet alleen voor jezelf een verrijking als je van veel dingen afweet, het is ook absoluut wenselijk voor een kenniseconomie als Nederland, dat kennis, vaardigheden en inzichten doorgegeven worden aan de volgende generaties. Voor ouders, maakt niet uit welk onderwijs zij zelf genoten hebben, is het belangrijk dat zij hun kroost zo lang mogelijk kunnen blijven ondersteunen bij hun schoolwerk, bij het aanleren van studievaardigheden, bij het helpen met het huiswerk, maar ook bij het motiveren en stimuleren om door te zetten. Dat gaat toch allemaal een stuk makkelijker als je er zelf ook wat vanaf weet.

Systematisch denken en gestructureerd werken.
Bij systematisch te werk gaan (bijvoorbeeld bij combinatoriek) is het belangrijk dat je niets vergeet en niets dubbel telt. Het systematisch afgaan van alle mogelijkheden is een nuttige oefening voor alle mensen, op welk niveau dan ook. Al handig bij het lopen met een winkelwagen door een supermarkt.

Leren noteren
Niet alleen bij wiskunde, maar bij heel veel vakgebieden is het belangrijk om op te schrijven wat je onderweg bedenkt, dat je niet alleen het antwoord op of de oplossing opschrijft, maar ook de aanpak die je gevolgd hebt. Daar is oefening voor nodig. Wiskunde leent zich daar uitstekend voor.

Gecijferdheid
Het vo heeft de taak aan te sluiten op het rekenonderwijs uit het po. Het is inderdaad belangrijk dat iedereen voldoende "gecijferd" is om te kunnen functioneren in onze maatschappij. Met de beschrijving van de referentieniveaus is niet zoveel mis, wel met de consequentie dat het vo gedwongen wordt om rekendoelen "over te nemen" in plaats van erop "aan te sluiten", zonder dat er goed gekeken wordt welke gevolgen dat heeft voor het verloop van andere zaken in het vo. Er komt in het vo wel van alles bij, maar er gaat ergens anders niets van af. Het is voor ieder schooltype belangrijk welke doelen minimaal gehaald dienen te worden, maar ook dat er een concreet plan van aanpak komt voor leerlingen die die doelen niet binnen de gestelde tijd halen. Dat betekent of geen toegang tot bepaald vervolgonderwijs, of het bijstellen van de doelen in het vervolgonderwijs, of het mogelijk maken in het vervolgonderwijs om alsnog aan de minimale doelen te werken, of desnoods verplicht bijspijkeren tijdens een tussenjaar o.i.d.

Determineren.
Doel van wiskunde is wellicht ook bewijzen dat je een bepaald denkniveau aan kan. En samen met de andere vakken en bezigheden ook bewijzen hoeveel je tegelijk aankan. In advertenties wordt vaak een bepaald denk- of werkniveau gevraagd. Een diploma, een toegangskaartje, zegt weinig over welke kennis, vaardigheden of inzichten zijn opgedaan.  Een cijferlijst geeft daarvan een beter beeld, maar is ook niet volledig betrouwbaar. Ik vermoed dat het verplicht (willen) stellen van wiskunde voor alle leerlingen te maken heeft met het grote determinerende aspect van ons vak. Maar mocht het waar zijn dat wiskunde daarvoor misbruikt wordt, dan wordt het hoog tijd dat er bij andere vakken strenger gedetermineerd gaat worden, zodat wiskunde met minder leerlingen minder 'de rem erop' hoeft te houden. Het werk- en denkniveau moet absoluut niet te veel rusten op wiskunde. Zonder wiskunde kan je heel gelukkig worden en prima nadenken over aardse zaken:-)

Opbouwen van kennis, vaardigheden en inzicht
Als je wel door wilt met wiskunde, of als je wiskunde nodig hebt ter ondersteuning, dan moet er zorgvuldig gewerkt worden aan een bouwwerk van begrippen, vaardigheden en inzichten. Het moet voor alle schooltypes en overgangen duidelijk zijn welke leerdoelen minimaal gehaald moeten worden om goed aan te sluiten op het vervolgonderwijs. Daar ontbreekt het volgens mij nu vaak aan. Het hoger onderwijs (ho en wo) maakt in mijn optiek onvoldoende duidelijk welke wiskundedoelen gehaald moeten worden, laat staan met welke kwaliteit. Veel vaker zouden entree-toetsen of proefmodules aangeboden moeten worden, louter ter voorlichting, zodat voor aankomende studenten duidelijk is wat hen te wachten staat en zij op tijd weten waar ze naar toe moeten werken. Tussendoelen voor havo(vwo) zouden richtinggevend moeten zijn voor vmbo leerlingen die door willen stromen naar het havo. Voor MBO leerlingen die willen doorstomen naar het HBO moet wiskunde toch minstens op hetzelfde niveau aangeboden worden als op het havo. Zou er niet meer aan tempodifferentiatie gedaan moeten worden, waarbij eenieder probeert zover mogelijk te komen met wiskunde, op welk onderwijstype dan ook.

Conclusie
Iedereen moet kennisgemaakt hebben met wiskunde, maar je moet het niet overdrijven. Voor mensen die niets met wiskunde hebben, haal het alsjeblieft vanaf een bepaald moment uit het programma en geef daarbij duidelijk aan welke wegen daarmee afgesneden worden. Of welke bijspijkercursussen gevolgd moeten worden om alsnog toegelaten te worden tot vervolgonderwijs. Concrete leerdoelen heb ik nauwelijks genoemd. Kennelijk zijn die minder belangrijk dan we denken. Veel leerdoelen zijn inwisselbaar voor andere. Belangrijk wel is dat de wiskunde consistent opgebouwd is en dat er voldoende aansluiting is tussen de verschillende onderwijstypes. Over niveaus spreek ik liever niet, vind dat nogal denigrerend naar mensen toe met prachtige andere talenten. Tempodifferentiatie bij wiskunde is wellicht de oplossing voor betere aansluiting en hogere waardering van alle onderwijstypes.

Slotwoord.
Tja, je moet er een keer een eind aan breien, maar sommige issues zijn nog niet ter sprake gekomen, onder andere die van de GR. Niet het wel of niet gebruiken van de GR bepaalt hoe diep je de wiskunde betreedt. Dat zijn nog altijd de leerdoelen die je stelt en de wijze waarop je die waardeert. Het zou toch van de gekke zijn dat we moderne middelen als de GR of computer niet inzetten in ons hedendaagse onderwijs.  In Nederland hechten we veel waarde aan onze eindexamens. Teaching-to-the-test is dan onvermijdelijk. Moeten de examens, de normeringen en de cesuur dan niet eens flink onder de loep genomen worden en worden aangepast? De schuld geven aan de de GR dat we minder ver of minder diep komen bij wiskunde is mij veel te makkelijk. En dat het gebruik van de GR of contexten "het aanwakkeren van een creatief oplossingsvermogen zou verhinderen ...", ik mis de onderbouwing daarvan. Met pure mechanistische, context- en GR-loze receptwiskunde, kun je creativiteit behoorlijk doodslaan. Creativiteit wakker je aan door zelf creatief met wiskunde om te gaan. Hoe, dat is een een andere vraag dan wat of waarom. Daar bestaan de lerarenopleiding, de werkvloer en de sociale media voor om dat uit te vinden :-)

Nog een oneliner:
Wiskunde leren zonder inzicht is zo doelloos, zo zinloos.