De zwijgende meerderheid

Je zou eigenlijk moeten mopperen over die zwijgende meerderheid, maar is dat wel zo? Zijn de zichtbaren niet veel gevaarlijker? Boekenschrijvers, bloggers, twitteraars, onconferentiegangers, positievelingen, bruggenbouwers? Zijn zij wel representatief voor de hele beroepsgroep? Geven zij niet de indruk dat de docent tijd te over heeft? Dat de rest een beetje loopt te lanterfanten?

Dat je van een realistische, kritische blik vaak niet erg geïnspireerd raakt, staat buiten kijf,  maar meer tijd willen voor goed onderwijs, is dat te veel gevraagd? Is dat te negatief? Moet je eerst flink 'roedelen' voordat er naar je geluisterd wordt?

Waar de zwijgende meerderheid erg blij mee zou zijn, is meer tijd om lessen voor te bereiden, om leerlingen individueel te helpen na schooltijd, om eigen materiaal te maken voor sprankelende lessen, om eens bij een collega te kijken en leuke ideeën op te doen, van elkaar te leren, om mee te denken over onderwijsbeleid. Nou ja, om de dingen te doen dus waar je nu te weinig aan toekomt.
Ik vind onderwijs nog steeds hartstikke leuk, maar als er een reden zou zijn om de sector te verlaten, dan is dat geld dat onvoldoende bij de docent en de leerling terecht komt. Super frustrerend!

Een fulltime job in het onderwijs is niet gezond voor een 'normaal' mens. Misschien zijn mensen die te veel doen wel net zo schadelijk voor de sector als mensen die te weinig doen. Als ik het voor het zeggen zou hebben, dan zou ik 'luisteren' naar die 'zwijgende' meerderheid ;-)

Kennen, kunnen, begrijpen.

Ik adviseer leerlingen nog steeds om tijdens of na een wiskundehoofdstuk een kennen-kunnen-begrijpen-lijst te maken (tip van een oud-collega). Met zo'n lijst kun je de inhoud van een proefwerk aardig voorspellen.

Kennen is weten. Welke nieuwe begrippen, regels, stellingen, afspraken of andere wetenswaardigheden ben je tegengekomen? 

Kunnen is uitvoeren, doen, iets uitrekenen, een tekening maken, een aanpak uitschrijven. In een wiskundetoets wordt meestal de kunnen-kolom bevraagd. 

Begrijpen gaat iets verder. Vaak kan je het in de kunnen-kolom kwijt als 'kunnen uitleggen', maar wat is nou het verschil tussen iets voordoen en echt begrijpen? 

Neem bijvoorbeeld de regel van Euler. Je kunt die onthouden (weten, kennen), gebruiken (kunnen) maar dat kan zonder die regel te begrijpen.

Of neem de formule voor de inhoud van een bol, vaak te vinden in de onderbouwboeken zonder afleiding. Bij begrijpen willen we dat iets aannemelijk gemaakt wordt, dat het bewezen kan worden, dat het volgt uit definities, axioma's of eerder bewezen stellingen, maar vaak ook dat het praktisch nut heeft. Met één voorbeeld: 2/3♥3/4 = 5/7 (de breuk 2/3 houdt van 3/4) kun je leerlingen bladzijden met opgaven gewenste antwoorden laten geven, maar hebben ze dan begrepen wat ze aan het doen zijn? 

Als wiskundedocent probeer ik mijn leerlingen zoveel mogelijk van de stof te laten begrijpen.
Soms maak ik een uitzondering, zoals bij Euler, de bol of in klas 2 bij de log-truc: 

     $a^?=b     ⇒     ?=\frac{logb}{loga}$

Een kenmerk van een truc is dat je 'm niet begrijpt, maar dat het toch handig is om te gebruiken.

Zo vind ik het zoeken naar het antwoord op de vraag a^?=b door 'dom' proberen eventjes zinvol maar al snel erg primitief en vervelend. Waarom zou je de leerlingen niet een maniertje geven dat je in één keer goed 'probeert'. Als je er bij vertelt dat deze truc uitgebreid in de bovenbouw aan de orde komt, dat het de status van truc zal verliezen, dan moet dat kunnen, denk ik, net zoals bij de bol.

Hoe dat zit met dubbele haakjes wegwerken, of bij de staartdeling, dat is lastig. Zodra je je richt op het voordoen, dan begeef je je vooral in de kunnen-kolom. Als je echt wilt dat leerlingen het begrijpen, dan moet je het bouwwerk definitie, axioma, stelling, bewijs erbij halen.
Of een context :-) Ik gebruik wel eens het jongen-meisje-broodje-cola-verhaal. Met geld kun je een hoop uitleggen.

Lessentabel

Onze lessentabel van de onderbouw (gymnasium) zit te vol. Leerlingen hebben het "te druk" en het grote aanbod van lessen blijkt "te duur". De lessentabel moet krimpen, of iedere sectie kan aangeven welke mogelijkheden de sectie heeft om hieraan bij te dragen.

Allereerst wil ik beamen dat onze leerlingen lange dagen maken. Het zou mooi zijn als leerlingen eerder 'vrij' zijn en kunnen kiezen voor extra ondersteuning, verdieping, zelfstandig thuis of op school werken. Ons onderwijs zou meer gericht moeten zijn op het halen van onderdelen, waarbij wel een zeker tempo vastgelegd wordt waarin de onderwerpen geïntroduceerd en behandeld worden, maar waarbij leerlingen meer keuzevrijheid krijgen bij het hoe van het verwerken van de leerstof.
Echter, een stilzwijgend uitgangspunt, namelijk lessen van 50 minuten (32 straks om precies te zijn), heeft wat ons betreft een zeer beperkende invloed op het vormgeven van een nieuwe lessentabel. De sectiewiskunde reageert daarom met twee versies, eentje uitgaande van het 50-minuten rooster en eentje met een wat vrijere invulling.

Versie 1 (uitgaande van lessen van 50 min)
In de huidige tabel staan voor klas 1, 2 en 3 op ons gymnasium respectievelijk 3, 3, 3 keer 50 minuten wiskunde ingeroosterd. Vergeleken met reguliere vwo scholen is dit aan de krappe kant (vaak 4,4,3). Maar leerlingen die voor gymnasium kiezen, geven aan meer aan te kunnen (klassieke talen, keuzemodules, meer excursies, ...) en dat zij de reguliere vwo vakken dus met minder contacttijd afkunnen. Het is echter een groot misverstand dat je op een gymnasium met minder inspanning hetzelfde reken- en wiskundeniveau kan bereiken als op een regulier vwo. We lopen met de huidige tabel al tegen de volgende problemen aan.

• Krappe jaarplanning. In ons proefwerk-jaarrooster zie je al dat met het aantal lessen per hoofdstuk/onderwerp niet uitkomen met het aantal lessen dat we huiswerk *mogen* opgeven. In de handleiding van Moderne Wiskunde wordt uitgegaan van 35 x 3 = 105 lessen per jaar bij 3 lessen per week, en 35 x 4 = 140 lessen per jaar bij 4 lessen per week. Met de schamele nog geen 100 lessen per jaar, slaan wij heel veel leuke en nuttige onderdelen over en concentreren wij ons op de leerdoelen waarvan wij vinden dat die minimaal behaald dienen te worden. Dat is een vrij intensief programma, niet alleen gericht op het CSE maar ook op het vervolgonderwijs. In onze proefwerk-jaarplanning is onverwachts lesuitval niet eens meegenomen. Niet dat we een langer lesjaar met een kortere zomervakantie willen, maar de jaarplanning kan en moet wat ons betreft  verder geoptimaliseerd worden (ofwel er moet minder lesuitval zijn).
• Kwaliteit kost tijd. Ondanks dat we met minder contacttijd onze leerlingen op vwo-niveau proberen te krijgen, ondervinden we dagelijks hoe druk leerlingen het hebben met andere schoolzaken; dat veel leerlingen nauwelijks toekomen aan het maken van hun wiskundehuiswerk en amper tijd hebben om terug te komen op al behandelde leerstof. De trein raast het hele jaar door. Tijd voor ziek zijn is er niet. Wij verwachten niet dat leerlingen alles perfect zullen willen beheersen. Ze moeten immers vaak strategische keuzes maken om alle ballen in de lucht te houden.  Met een 5.5 geven wij min of meer aan dat er voldoende kans is om te succesvol te kunnen zijn in een volgende ronde. Echter door compensatiemogelijkheden glippen er toch heel wat leerlingen tussendoor. Tijd om achterstanden weg te werken hebben wij nauwelijks, terwijl bij een concentrisch opgebouwd stapelvak het wel heel belangrijk is om eventueel ontstane hiaten weg te werken.
• Vervolgonderwijs. Het vervolgonderwijs is toch waar we onze leerlingen voor opleiden, niet voor het CSE. Een voldoende voor het CSE biedt nauwelijks garantie voor succes in het wo of hbo. Er wordt veel geklaagd in het ho en wo over het reken- en wiskundeniveau. Dat rechtvaardigt onze keuze hoge eisen te stellen aan inzicht en vaardigheden. In de onderbouw willen we onze leerlingen een degelijke ondergrond geven, zodat de overgang OB/BB soepel verloopt en de leerlingen in de BB zonder ernstige voorkennisproblemen alle wiskundevarianten (A,B,C,D) aankunnen. Aangezien we in de onderbouw extra nadruk leggen op inzicht, stellen we het inslijpen van enkele wiskunde-B-achtige vaardigheden uit tot in de bovenbouw, waarmee we de werkdruk in de OB weer ietwat verlichten.
• Steunlessen. Wij vinden het jammer en kwalijk dat er geen geld vrijgemaakt kan worden voor steunlessen wiskunde in de onderbouw. Veel leerlingen moeten nog op de rails gezet worden, hebben hulp nodig bij aanpak en motivatie, maar hebben ook vanzelfsprekend extra uitleg nodig. Niet iedereen heeft dit "vierde uur wiskunde" nodig, maar door het afschaffen ervan, stromen wellicht onnodig enkele leerlingen af van ons gymnasium.
• Rekenen. De rekentoets 3F komt eraan, maar ook 2S en 3S moeten voorbereid. De wiskundesectie neemt dit voorlopig voor haar rekening, maar tijd en geld voor rekenlessen is er niet. Laat duidelijk zijn dat we met de wet referentieniveuas eerder extra tijd nodig hebben, dan dat we nog meer tijd kunnen inleveren.
• Vakoverstijging. Helaas participeert wiskunde nog weinig in projectweken, maar in klas 3 hebben we een begin gemaakt om statistiek deels onder te brengen in de waterweek. De sectie wiskunde stelt zich dienstbaar op, met name dus bij statistische verwerking van gegevens. We staan open om mee te denken om ook andere wiskundeonderwerpen in projectweken te integreren, maar met de huidige invulling van vakoverstijgende projecten zien we vooralsnog weinig mogelijkheden. We zijn vooral bang dat als er nog meer vakoverstijgende projecten komen, we nog meer tijd verliezen en het wiskundeprogramma moeten draaien met nog minder lessen.
• Onderzoekend leren. Onderzoekend leren zouden we graag meer willen inbedden in onze aanpak, maar de concrete voorbeelden die wij tot nu toe uitgeprobeerd hebben vragen om zoveel extra tijd dat we er domweg niet aan toekomen. Jammer, want OL biedt een welkome afwisseling en draagt ons inziens bij tot meer motivatie bij leerlingen. 
• Pisa over de studietijd van onze 15-jarigen.  "In het  overzicht van tijd die wordt besteed aan het vak wiskunde binnen de school staat Nederland op de 55e plaats met 165 minuten. Inderdaad, de vijfenvijftigste plaats! Bijna onderaan de lijst dus" (Bron).

Al met al maakt bovenstaande wel duidelijk dat we geen lestijd willen en kunnen afstaan. Wel willen we de werkdruk bij leerlingen verlagen (beter spreiden) door de tijd in de jaarplanning voor onderwijs efficiënter te benutten. Onze wens om in klas 1 een extra uur wiskunde in de tabel op te nemen willen we laten varen, mits er een meer flexibele invulling voor in de plaats komt, waaronder steunles wiskunde en rekenen (maar niet op het laatste uur van 16:10 tot 17:00 uur).

Versie 2 (uitgaande van minder lange lesdagen)
Ik ben benieuwd of er scholen zijn (gymnasia, technasia, tto, vwo+) die meer aanbieden dan een regulier vwo-programma, maar toch het aantal lessen beperkt weten te houden.
Ik denk bijvoorbeeld aan scholen met:

• Andere lestijden. Wij adviseren onze leerlingen om het wiskundehuiswerk te spreiden over minimaal 3 dagen per week, zodat het geleerde tijd krijgt om te 'landen'. Met drie lessen per week kan nieuwe lesstof in kleine brokjes aangeboden worden en al behandelde lesstof op tijd bevraagd worden. Wij zien onze leerlingen daarom liever 3 keer per week 'kort', dan 2 keer lang. Nu zal 3 x 30 flink docent gestuurd lesgeven behoorlijk intensief zijn, maar als dat 60 minuten keuzewerktijd kan opleveren, is dat misschien toch interessant. Met een 45-minutenrooster zou ook keuzewerktijd mogelijk gemaakt kunnen worden: het eerste uur leent zich wellicht het best voor KWT in de stijl van steunles, de laatste uren voor KWT in de stijl van HWB. 
• Projectweken. Zijn er scholen waarbij het gelukt is om een aanzienlijk deel van de wiskundedoelen onder te brengen in projectweken of in vakoverstijgend onderwijs?
• Keuzetrajecten. Vraag is of we in de onderbouw alle leerlingen hetzelfde moeten aanbieden. Puur uit tijdgebrek hebben wij vorig jaar bijvoorbeeld in klas 2 het laatste hoofdstuk Contrueren en Redeneren facultatief gemaakt (voor leerlingen die het leuk vinden of een extra cijfer nodig hebben om hun gemiddelde op te poetsen). Het betreft de digitale oefening "Lijnen van betekenis" in de DWO. In klas 3 maken we er een (verplichte) B-wis opdracht van voor leerlingen die wiskunde B gaan doen (of nog twijfelen). Het is niet nodig dat alle leerlingen dezelfde wiskundestof doorlopen in de bovenbouw, dus waarom wel allemaal hetzelfde aanbieden in de onderbouw? Andere leerlingen doen wellicht liever iets "extra's" voor een ander vak. Vraag is natuurlijk wel of we de lat niet te laag leggen op deze manier? Moeten niet alle leerlingen kennis gemaakt hebben met bijzondere lijnen in een driehoek?
• Daltononderwijs. Op het Wolfertlyceum werken ze met Daltonuren en een 45-minutenrooster, misschien zijn Daltonuren ook interessant voor onze school. Voordeel van KWT midden op de dag, is dat leerlingen en docenten nog fris zijn, nadeel is dat je wellicht een deel van de leerlingen  onnodig lang vast houdt op school (ophokuren). Doel is juist ook voor ons dat leerlingen minder lange dagen maken.
• ...

Het Initiatief

'Het Initiatief zou ik een goede alternatieve titel gevonden hebben voor Het Alternatief, het boek van Jelmer Evers en Rene Kneyber dat onlangs uitgegeven is door uitgeverij Boom, gerecenseerd door onder andere Simon Verwer in Leraar met beroepseer op Scienceguide.nl en door Aleid Truyens met Frisse bevlogenheid in een vermoeide sector in de Volkskrant.
De ondertitel "Weg met de afrekencultuur in het onderwijs" suggereert niet alleen waarvoor een alternatief gezocht wordt, maar samen met de hoofdtitel ook dat deze daadwerkelijk gevonden is. Er wordt een aanzet gegeven tot "flipping the system", maar een volledig uitgewerkt plan hoe deze omwenteling bereikt kan worden, ligt nog niet klaar. Door de anti-leus in de ondertitel laat een deel van de doelgroep wellicht het boek links liggen. Dat is jammer, want Het Alternatief is een niet te missen boek voor beleidsmakers, schoolleiders, leerkrachten en andere medewerkers in het onderwijs.

Gesterkt door de woorden op pagina 199: "Dapperheid houdt ook in dat je het lef hebt om je kwetsbaar op te stellen", probeer ik hieronder te schetsen welke gedachten het boek bij mij naar boven haalt. De auteurs van het boek hebben het initiatief genomen om de discussie aan te zwengelen over wat goed onderwijs is en hoe je dat bereikt, maar vooral - denk ik - ook om deze discussie op ieders agenda te krijgen. Voor de vervolgstappen is eveneens initiatief nodig. Betrokkenen, politici, beleidsmakers, bestuurders, schoolleiders, docenten zouden concreet moeten aangeven wat ze precies willen veranderen, welke randvoorwaarden hiervoor nodig zijn en hoe die randvoorwaarden verwezenlijkt kunnen worden. Waar dat zou leiden tot een haalbaar traject, zou een pilot opgestart kunnen worden.

Afgelopen decennia is het onderwijs behoorlijk uitgehold. Om 'flipping the system' mogelijk te maken, moet denk ik eerst (of tevens) geprobeerd worden die uitholling weer ongedaan te maken. Uitholling heeft wat mij betreft te maken met onder andere schaalvergroting, standaardisering, ranking, afrekening, bezuiniging, uitbesteding, bureaucratisering, onderwaardering en onderwijsvernieuwing. Ik zal ze hieronder toelichten.

Schaalvergroting.
Fusiedrang (tja waarom eigenlijk) heeft geleid tot ondoorzichtige organisaties met mistige en overgewaardeerde functies. Geld moet bij de leraar en leerling komen. De voordelen van schaalvergrotingen (gemeenschappelijke administratie, uitbesteding ICT e.d.) hoeven niet allemaal ongedaan gemaakt worden, maar vuistregel is, als daar binnen het onderwijs een extra manager of bestuurder voor nodig is, of iemand die daarvoor meer verdient dan een docent, schrappen dat zogenaamde voordeel en in eigen beheer nemen. Scholen moeten weer transparant worden. Voor docenten en ouders moet de boekhouding duidelijk en controleerbaar zijn, gemaakte keuzes helder en de identiteit herkenbaar.

Standaardisering
Climb that tree is inmiddels een welbekend plaatje, het geeft goed de onzin weer van gestandaardiseerde testen. Standaardisatie accentueert in eerste instantie de verschillen en zorgt er vervolgens voor dat niet ieder individu maximaal vooruit geholpen wordt.  Door geen of weinig respect te hebben voor ieders talent, aanleg, leertempo, zadel je het onderwijs op met een haast onmogelijke opgave, namelijk iedereen gemotiveerd bij alle lessen te houden. Gestandaardiseerde testen inzetten, om gemeenschappelijke doelen te waarborgen, stoelt op wantrouwen richting de docent die probeert zijn vak via maatwerk over te dragen, al zijn leerlingen een stapje verder te brengen. Alle leerlingen hetzelfde aanbieden op dezelfde manier, op gelijke momenten, lijkt efficiënt maar is in werkelijkheid weinig effectief. Leerlingen toetsen aanbieden waarvoor ze (nog) niet klaar zijn demotiveert en draagt samen met de compensatiemogelijkheden die er zijn bij tot diploma-inflatie. Op het CSE lijkt het testen van intelligentie een steeds groter plaats in te nemen, waardoor wellicht een groot deel van de geslaagde leerlingen wel competent is, maar dat niet kan aantonen met de beheersing van de gestelde doelen. Teaching to the test en compensatiedrang gaan dus niet samen. Voor teaching to the test zou de cesuur misschien wel bij 80% van 'de gestelde leerdoelen' moeten liggen. Een lage cesuur in combinatie met het doorlaten van leerlingen met voldoende intelligentie brengt het onderwijs in een neerwaartse spiraal. Er wordt niet meer voldoende geleerd.

Eigenlijk zou slagen voor het CSE net zo vanzelfsprekend moeten zijn als het behalen van het zwemdiploma. Het echte examen is het proefzwemmen (SE), op wel zo'n niveau, dat slagen voor het CSE gegarandeerd is en niet meer is dan een formaliteit. De leerstof zou opgedeeld moeten worden in brokjes, die stuk voor stuk gehaald moeten worden, zoals ook in het hoger onderwijs gebruikelijk is (niet per se afgesloten met een toets). Pas als alle onderdelen in orde zijn, ben je klaar voor het proefexamen. Het CSE als integrale eindtoets zou je dan zelfs kunnen inruilen voor entreetoetsen in het vervolgonderwijs (of die zelfs vervangen door alleen duidelijke voorlichting). Als niet meer het CSE leidend is voor scholen, maar de gezamenlijk afgesproken (minimale) leerdoelen, dan verwacht ik dat scholen dat (nog steeds) heel goed kunnen combineren met aandacht voor, zoals Biesta dat heel mooi samenvat met twee woorden: socialisatie en subjectivicatie (Alternatief p 69/70).

Een oprechte vraag van mij: willen we niet te veel leerlingen een algemeen vormende opleiding laten volgen? Zetten we ons algemeen vormend onderwijs niet te veel op een voetstuk en maken we het daarmee niet te aantrekkelijk voor leerlingen die daar eigenlijk (nog) weinig mee hebben? Wat is er mis met bijvoorbeeld ambachtelijk beroepsonderwijs? Niets, toch?! Ik ben voor een herwaardering.

Uitholling door standaardisatie komt dus enerzijds doordat (potentiële) specialisten uit andere lagen onttrokken worden, anderszijds doordat door teaching to the test in combinatie met de compensatiemogelijkheden die we in ons onderwijssysteem hebben, de gestelde leerdoelen niet door iedereen voldoende gehaald worden. Moeten de kerndoelen nu verdwijnen? Neen, dat zou een enorme wildgroei veroorzaken van doelen en resultaten. Binnen de sectie maken we om die reden al afspraken met elkaar.

Ander punt is: "Meten we in het onderwijs wat we waardevol vinden, of zijn we in het onderwijs waardevol gaan vinden wat gemeten wordt of gemeten kan worden?" (Het alternatief, p. 73)
Te veel nadruk op toetsen gaat ten koste van zaken in het onderwijs die niet of moeilijk meetbaar zijn, formatief toetsen is onmisbaar voor het leerproces, summatief toetsen is vaak (lang niet altijd) nodig om een bepaald onderdeel af te sluiten en zorgt ook voor de nodige extrinsieke motivatie. Niet alle leerdoelen, lessen, leraren zijn voor iedereen even interessant, dus ik denk dat er wel degelijk enige duwtjes nodig zijn om leerlingen in het vo bij de les te houden (waar de leergierigheid niet meer een vanzelfsprekend iets is).

Ranking
Onmogelijk, maar stel dat het mogelijk is, scholen, docenten en leerlingen eerlijk te ranken (met een aantoonbare meerwaarde), dat daarvoor een betrouwbaar en volledig meetsysteem voor handen is, dan is ranking alleen leuk voor wie het 'goed doet', maar voor wie onder de maat scoort, levert ranking vooral frustratie op. Als je veronderstelt dat de onderste 50% ook boven het gemiddelde wil scoren, zal dat het gemiddelde doen stijgen? Het lijkt me dat de beste en zwakste leerlingen niet oneindig beter kunnen worden; hetzelfde geldt voor alle leerlingen daartussenin. Je houdt altijd een 50% die onder het gemiddelde (of mediaan) zit, ranken heeft dus weinig zin. Wellicht dat onderling enkele verschuivingen zullen plaatsvinden, maar voor het totaalplaatje heeft dat geen positief effect. Of zou het gemiddelde naar een lagere evenwichtsstand verschuiven als je stopt met ranken? Ik zie het in mijn klas niet gebeuren. Goed is goed genoeg, gehaald is gehaald en gefaald is toch al gefaald. Het gaat erom of je boven jezelf kunt uitstijgen, dat heet leren geloof ik, je best doen. Stop dus met ranken, met onderlinge verschillen publiek maken. Welke leraar leest tegenwoordig nog alle cijfers in de klas hardop voor? Het streven moet zijn zelf beter te worden, niet per se beter dan de ander. Voor de toptien heeft het ook geen zin. De verschillen zijn zo klein, en het meten in werkelijkheid zo subjectief en onvolledig, dat je geen conclusie kan trekken. De beste leerling in het zonnetje zetten, of de slechtste leerling vernederen, dat kan toch niet de bedoeling zijn? Iedereen heeft recht op vooruitgang, een compliment. Hetzelfde geldt natuurlijk voor docenten, en scholen. Ik heb het nooit begrepen, competitie, concurrentie in het onderwijs. Leerlingen en docenten van andere klassen, scholen, landen hebben toch net zoveel recht op het beste onderwijs? Dus delen onze goede ideeën, ons mooie lesmateriaal. Vrijgeven, gratis beschikbaar stellen, voor iedereen! Onderwijs is niet te vergelijken met topsport, waarbij het gaat om de beste willen worden (of blijven), om niet willen degraderen. Degraderen omdat je het laagst eindigt? Een ondergrens moet in het onderwijs niet relatief gezet worden maar absoluut, gebaseerd op doelen en vereisten, niet op onderlinge verschillen. In het onderwijs gaat het vooral om iedereen geven wat hij of zij nodig heeft, dat behoefte en aanbod op elkaar aansluiten? Zou je binnen het eigen gezinsleven je eigen kinderen willen ranken om ze beter te laten presteren? Nee toch, hoop ik?

Afrekening
Prestatiebeloning, prestatiebekostiging of andere perverse prestatieprikkels, natuurlijk leiden die aan de onderkant tot teaching to the test, frauduleus gedrag, diploma-inflatie en -devaluatie. Niet alleen aan de onderkant treden ongewenste effecten op. Als het doel is goed onderwijs voor iedereen, dan moet je geen remmende maatregelen nemen die samenwerking, het delen van ideeën en materialen, het elkaar vragen om en bieden van ondersteuning in de weg staan.

Bezuinigingen
Ondanks flinke investeringen in de onderwijssector is er toch enorm bezuinigd in het primaire proces, getuige de volle klassen, de volle banen en het tekort aan bevoegde docenten. Geldstromen gaan de verkeerde kant op. Een absolute noodzaak om 'flip the system' tot onderwijsverbetering te laten leiden, is dat salarissen van niet-onderwijzend personeel niet boven die van docenten uit mogen uitkomen. Schoolleiders behoren docenten met taakuren te zijn. Bestuurders moeten zich laten omscholen tot docenten of een andere baan zoeken, zonder riante vertrekpremies, wachtgelden (docenten krijgen dat ook nauwelijks als er geen werk meer voor ze is). Grootverdieners in het onderwijs mogen blij zijn dat niet met terugwerkende kracht geld dat zij ontvreemd hebben van het onderwijs terugbetaald moet worden. Hoe kan een bestuurder docenten recht in de ogen krijgen en uitleggen dat hij recht heeft op meer salaris dan de docenten zelf? Grotere verantwoordelijkheid? Lijkt me niet, docenten zijn eindverantwoordelijk voor de kwaliteit? Complexere taken? Ook niet, kleinschaligheid maakt duur bestuur overbodig.
Grootste probleem van flip the system is dat docenten te weinig tijd hebben om te werken aan onderwijsverbetering, om het systeem te flippen. Klassen van maximaal 20 leerlingen, banen met maximaal 20 lessen, dat lukt alleen als duur personeel verdwijnt en er voor aasgieren niets meer overblijft. Bijna niemand durft concrete maatregelen te noemen, laat staan te nemen. Waarom is er nog geen wet gemaakt die graaiers alles laat terugbetalen wat onrechtmatig is weggenomen. Zo'n wet kan toch op de steun van een meerderheid van de Nederlandse bevolking rekenen? Dat hier veel te weinig aan gedaan wordt, betekent misschien wel het failliet van het Nederlandse onderwijs, concreet dat ik komend jaar gratis steunles wiskunde mag geven. Schande!

Uitbesteding
Mensen met leidinggevende, coördinerende taken financieel hoger waarderen dan docenten heeft een voedingsbodem veroorzaakt voor het wij- en zij-gevoel. Enige oplossing daarvoor is om alleen een wij te laten bestaan. Collectieve autonomie spreekt mij wel aan, met een gekozen krachtige (gespreks)leider. Het moet echter niet zo zijn dat als je eenmaal een leidinggevende positie hebt bemachtigd, je daar de rest van je loopbaan kan blijven zitten. Als het collectief besluit dat er andere leiding, ander management moet komen, dan zij het zo.
Ik noem expres niet de uitgeverijen. Ik denk dat voor hun methodes wel markt blijft bestaan, maar met maximaal 20 lessen per week verwacht ik wel dat docenten lesmateriaal meer naar hun hand zullen zetten.  Ik noem expres niet de onderwijsadviesbureaus en nascholingsbedrijfjes. Die met toegevoegde waarde zullen waarschijnlijk wel overleven. Maar subsidiegeld moet altijd via docentencollectieven lopen, docenten kunnen het beste inschatten waar en op welke wijze innovatie of scholing gewenst is. Het moet afgelopen zijn met dure projecten waar een hoop mensen behalve leerlingen beter van worden. En al die geldverslindende congressen, laat iedereen die maar uit eigen zak betalen!
Ik begrijp dat veel mensen willen verdienen aan het onderwijs, maar het moet duidelijk zijn dat dat alleen kan in het onderwijs. Aub, laat het geld bij de scholen terecht komen en sta zelfverrijking niet toe.

Bureaucratisering
Op onnodig papierwerk zit niemand te wachten. Tig velletjes intypen om in aanmerking te komen voor financiering voor een goed project moet tot het verleden gaan behoren, net zoals verplicht tijdschrijven. Besteed de tijd die je daarvoor nodig hebt aan het project zelf. Niet schrijven, maar doen! Het lerarenregister, weer zo'n bureaucratische maatregel, stoelt ook weer op wantrouwen. Deze is notabene verzonnen door docenten zelf, waar de overheid wel erg makkelijk in meegaat, nu zelfs probeert uit te buiten. Neem op de koop toe dat niet iedere leraar (direct) tijd die vrijkomt als je minder leerlingen per klas en minder lessen per week hebt, verruilt voor extra inspanning t.b.v. het onderwijs. Dat komt hopelijk ooit vanzelf of het komt niet. Dwang helpt niet, dat werkt averechts. Proberen mee te trekken in het collectief (enthousiastmeren, overtuigen, inspireren, ...) is eigenlijk niet meer dan je kan doen. Alleen disfunctioneren kun en moet je aanpakken, maar dan hebben we het over de basisactiviteiten van een docent, niet over het opvullen van taakverlichting.

Onderwaardering
Zelfs met een tweedegraadsbevoegdheid zou je ruim boven de vwo stof moeten staan, met een eerstegraads opleiding is dat gegarandeerd, maar moet die opleiding per se academisch zijn? Zolang men maar blijft roepen dat academische vorming noodzakelijk is voor alle docenten, blijft er maar weinig waardering over voor andere 1e-graads docenten, 2e-graads docenten en leerkrachten met een pabo opleiding. Dat kan toch niet de bedoeling zijn.
Is het vo (en po) wel beter af met academisch gevormde docenten? Komen zij niet te ver van de (middelbare) schoolstof te staan? Is het opdreunen van een dictaat niet een schoolvoorbeeld van hoe het niet moet in het onderwijs? Toch ben ik voor, dat ook academisch opgeleide docenten les mogen geven in de bovenbouw van het vwo :-) mits ze affiniteit hebben met de schoolstof en de leeftijdsgroep, mits ze bereid zijn te leren van ervaren collega's, mist ze bereid zijn tot het behalen van een lesbevoegdheid. Niet vanwege hun zogenaamde onderzoeksvaardigheden (ik ken er genoeg die er een potje van maken), niet vanwege het VAKdocent zijn, niet vanwege een prachtig CV, niet vanwege een mooie titel in de schoolgids, maar puur omdat ze graag een goede VAKDOCENT willen zijn en er alles voor over hebben om dat te worden. Het is best verhelderend om zelf het onderwijstype ervaren te hebben waar je je leerlingen uiteindelijk op voorbereidt, echter die ervaring heb je ook al als je na een tijdje afhaakt :-) Voor mij is verplicht stellen van een academische opleiding in de bovenbouw van het vwo niet noodzakelijk, in sommige gevallen zelfs onwenselijk. Ik zou eerder pleiten voor een eerstegraads opleiding met net zoveel aandacht voor het docentschap als voor de vakinhoud. De opleiding continueren en combineren met betaald voor de klas staan, lijkt mij ook aanbevelenswaardig. Bevoegdheid zou pas afgegeven moeten worden na het verkrijgen van de eerste vaste aanstelling (en alle andere brokjes natuurlijk).
Met onbevoegd lesgeven (zonder er studerend voor te zijn), moet het maar eens afgelopen zijn. Ik kan me wel voorstellen dat in bepaalde noodsituaties, of ten gunste van een goede samenwerking binnen de sectie, of terwille van onderhoud van kennis en vaardigheden, onderbevoegd lesgeven een enkele keer toegestaan wordt, maar alleen bij hoge uitzondering. Dikke docenten mogen niet vervangen worden door dikke boeken. Bekwaamheid uit zich niet alleen in goed les kunnen geven, maar ook in de potentie hebben zelf goed lesmateriaal te ontwerpen.

Het aanzien van het beroep leraar is niet alleen gekelderd door salarisachterstand van de hele beroepsgroep, maar ook door onderlinge salarisverschillen. De HOS-wet heeft diepe sporen achtergelaten in het onderwijs en wie kent de LB/LC/LD strijd niet? Fnuikend voor de onderlinge sfeer, wederzijds respect en begrip, en daarom niet bevorderend voor samenwerken, kennis delen, leergierig zijn, je kwetsbaar opstellen, maar bovenal samen je schouders eronder zetten en persoonlijk belang ondergeschikt laten zijn aan het hogere doel: mooi onderwijs voor iedereen. Heeft daarom niet elke leerkracht, docent, schoolleider, ontwikkelaar recht op evenveel salaris? Weg met die carrièrepaden in het onderwijs. Waarom zou je carrière moeten maken in sector waarbij je vanaf dag 1 een topbaan hebt?
Als een doel van het onderwijs is gelijke kansen te bieden aan alle leerlingen, dan moet je zelf het goede voorbeeld geven en een omgeving scheppen zonder status- en salarisverschillen. De roep om alle leerkrachten academisch te vormen, is volgens mij meer een roep om alle leerkrachten gelijk te waarderen, ieder voor z'n eigen specialisatie(s). Nou heb ik persoonlijk geen onoverkomelijke problemen met een eenduidig systeem als 2e graads LC en 1e graads LD, maar echt goed onderbouwd en doordacht vind ik deze salariskoppeling niet. Leerkrachten in het po verdienen het in ieder geval minstens zoveel te verdienen als in het vo. Laten we eens van onderaf de waardering voor leerkrachten verhogen en kijken waartoe dat leidt. Iedere leerling (van alle leeftijden, op elk niveau) heeft recht op goed onderwijs, laten we dan niet de ene docent beter belonen dan de ander, dat is accepteren van verschillen die we juist niet (of minder) willen.

Verder vrees ik dat het algehele beeld dat we bij leerlingen achterlaten over het docentschap ook een aandachtspuntje is.  Zij zijn immers onze potentiële opvolgers. ;-)


Onderwijsvernieuwing
Ik denk ook dat de door de overheid opgelegde onderwijsvernieuwing (basisvorming, studiehuis, het nieuwe leren, ...) heeft geleid tot uitholling van de sector. Waar je hoopt dat docenten zelf het initiatief nemen tot innovatie, hebben de veranderingen de docenten eerder murw gemaakt dan creatief en assertief. Voor velen is het nu nog steeds overleven en er achteraan hollen, slechts enkelen hebben tijd en energie (ervoor) over voor de strijd om het onderwijs weer terug te geven aan de docenten. Dank jullie wel, voorvechters. Maar nu is het aan alle docenten om meer collectief initiatief te tonen, om de ruimte te pakken die er al is. En laat de overheid nu eindelijk eens het initiatief nemen om die ruimte te vergroten en zorgen voor de juiste randvoorwaarden. Laten wij docenten alvast beginnen met bijvoorbeeld het tegengaan van diploma-inflatie, daar hebben we de overheid niet per se voor nodig, toch?

De rekentoets 3F (advocaat van de duivel)

Cito reageert vooralsnog niet op de kritiek op de rekentoets. Laat ik eens proberen voor hen enkele vragen te beantwoorden  (als advocaat van de duivel :-)

Allereerst wat is rekenen?
Makkie, dit staat nu heel duidelijk omschreven in de referentieniveaus's 1F, 1S, 2F, 2S, 3F en 3S. Voor ieder schooltype en leeftijdsgroep liggen de (streef)doelen dus vast.

Is de rekentoets 3F voor havo/vwo/mbo een rekentest of een intelligentietest?
Nou beide! Er worden enkele vragen gesteld uit de onderliggende referentieniveaus, maar 3F voor havo/vwo/mbo moet uiteraard moeilijker zijn dan 2F voor vmbo. Op havo/vwo kunnen leerlingen meer aan, dus kun/moet je deze vragen ook complexer maken. Het is niet de bedoeling dat alle leerlingen in Nederland 3F (kunnen) halen, vandaar dat intelligentie ook gemeten wordt!

Is 3F dan wel haalbaar voor mbo?
Jazeker, een mbo-diploma geeft net zoals havo toegang tot hbo; dat vraagt dus hetzelfde werk- en denkniveau. Mbo-ers hebben wel meer tijd om aan de 3F eisen te voldoen.

Waarom scoren veel leerlingen zo slecht voor rekenen 3F?
Mogelijke oorzaken:
1. Onderliggende referentieniveaus zijn niet gehaald, dan halen ze 3F natuurlijk ook niet.
2. Extra leerdoelen (die na 1F en 2F komen) zijn niet aan bod gekomen of niet gehaald.
3. Leerlingen hebben mogelijk de toetsen onvoldoende serieus voorbereid/gemaakt.
4. Scholen (docenten en lesmateriaal) waren er nog niet klaar voor.
5. Nog veel vragen waren van onvoldoende kwaliteit, die dienen uiteraard te worden aangepast.
6. Bladeren was onmogelijk, dat wordt uiteraard aangepast voor de opgaven met rekenmachine.
7. Leerlingen hadden tijd te kort, te veel vragen in de toets.
8. Aanpak wordt niet beoordeeld, kleine foutjes worden afgestraft met 0 punten.
9. Toetsen worden niet vrijgegeven, dus kunnen ze ook niet leren van hun fouten.
10. Leerlingen zijn wellicht verkeerd ingedeeld, zitten onterecht op havo, vwo of mbo.

Waarom staan er zoveel contextvraagstukken in de rekentoets?
Rekenen om het rekenen wordt niet getoetst. Accent 3F ligt vooral op maatschappelijk rekenen (met toepassingen in het dagelijkse leven), accent 3S meer op zelfredzaamheid in het vervolgonderwijs  (formeel, abstract rekenen). Het toetsen van zelfredzaamheid in onze samenleving kan uiteraard niet zonder maatschappelijke contexten. Een toets 3S zou minder contextvragen bevatten, 2S en 1S evenmin.

Waarom mag er bij zoveel vragen een rekenmachine gebruikt worden?
Waar is de rekenmachine anders voor bedoeld dan? Wat doe je zoal met een rekenmachine? Zelfredzaamheid in de maatschappij mag met rekenmachine, tijdens toets 3F dus ook.


Hoe kunt u als de toetsen geheim blijven de vragen zonder commentaar verbeteren?
Daarvoor zijn de pilots uiteraard bedoeld, om te leren van gemaakte fouten en onzorgvuldigheden. Maar de toetsen zouden inderdaad vrijgegeven moeten worden, en leerlingen zouden ook inzage in hun werk moeten krijgen. De verleiding tot 'Teaching to the test' wordt dan echter wel groter.


Waarom moet 3F getoetst worden?
Zonder toets is het lastig de leerdoelen te implementeren in het onderwijs; het veld vraagt ook om een concrete uitwerking van de leerdoelen in (voorbeeld)toetsvragen. Door de uitslag van de rekentoets mee te nemen in de zak-/slaagregeling of bij te laten schrijven op de cijferlijst bij het diploma wordt afgedwongen dat eenieder zich maximaal voorbereidt op de rekentoets (zowel de leerlingen als de onderwijsgevenden).

Maar als de rekentoets ook een intelligentietest is, kun je dan wel voldoende voorbereiden op de rekentoets?
Voorbereiden op de rekentoets 3F vindt voor het grootste deel plaats op de lagere school door te werken aan 1F en 1S. Daarna is het een kwestie van ouder en wijzer worden, waarbij onderweg een paar extra leerdoelen opgepikt dienen te worden.

Veel mensen willen de staartdeling en het ouderwetse cijferen weer terug? Waarom wordt dat niet teruggevraagd in de toets?
Dat is didactiek die ingezet kan worden bij basisrekenen op de lagere school.  3F is daar allang voorbij.

Waarom vindt er dan niet louter een rekentoets 1F plaats aan het einde van de lagere school?
Leerlingen bij wie het op de lagere school (om wat voor reden dan ook) niet gelukt is 1F te halen, krijgen in het vo extra tijd (een extra kans) om er alsnog aan te werken.

Leidt afname 3F aan het einde van het vo niet tot diploma-inflatie?
Het is aan de scholen in hoeverre zij meegaan in 'Teaching to the test'? Als school kun je meer aanbieden, eisen dan op het CSE en de rekentoets wordt gevraagd. En het is aan de lagere scholen om de leerlingen optimaal voor te bereiden en het juiste advies mee te geven. Als een leerling in het vo niet slaagt vanwege een onvoldoende voor de rekentoets, dan kun je je ook afvragen of deze leerling op de goede plek zit.

Leidt afname 3F aan het einde van het vo niet tot een enorme toename van gezakten en schoolverlaters zonder diploma?
Direct het juiste schooltype kiezen en op tijd bijsturen wordt nu extra belangrijk.

Moet er op het vwo niet een 3S toets komen?
Nee, de verwachting is dat alle leerlingen op het vwo voor 3F en 3S uiteindelijk zullen slagen. Dat maakt een rekentoets op het vwo overbodig. Verwerking van de rekendoelen in de kerndoelen van de bestaande vakken moet afdoende zijn. Dat geldt ook voor de havo: 3S kan gewoon ondergebracht worden bij de reguliere rekenvakken.

Maar waarom moet er op de havo en het mbo dan wel een toets 3F afgenomen worden?
Dat is op de lange termijn natuurlijk ook onzin. Zodra 1F en 1S op tijd gehaald worden, is er geen maatschappelijke noodzaak meer om het onderwijs lastig te vallen met extra landelijke rekentoetsen.

Is het dan niet veel verstandiger om het geld dat gemoeid is met de wet referentieniveaus, preventief te investeren in het onderwijs door de klassen te verkleinen, leerkrachten meer tijd, ruimte en ondersteuning te geven voor beter onderwijs, en niet alleen voor rekenen?
Natuurlijk, waarom dat niet gebeurt is voor iedereen die hier niet zijn boterham mee verdient, een raadsel.


(-: Geen reacties aub! :-)

Rekenbeleid vwo (juli 2013)

Juli 2012 schreef ik nog in mijn eerste blog over rekenbeleid vwo: "...tja, eerst zien, dan geloven." Ik vond het namelijk onvoorstelbaar dat veel vwo-leerlingen een onvoldoende zouden halen voor een rekentoets die ook op de havo wordt afgenomen. Dat zou onder de havo-leerlingen toch een slachting veroorzaken? Laten we eens kijken wat er van deze voorspelling terecht is gekomen.

1. Na de herkansing zijn er bij ons nog slechts 2 leerlingen uit G5 die een vijf staan. Volgend jaar heb ik er vertrouwen in dat ook deze 2 leerlingen een zes of hoger zullen halen.

2. De rekentoets wordt tot 2015/2016 uit de slaag/zakregeling gehouden. Dat betekent dat je voorlopig niet kunt zakken op rekenen (mits je deelgenomen hebt aan de rekentoets). Het cijfer wordt vanaf 2013/2014 echter wel bijgeschreven op de cijferlijst bij het diploma.

3. Op de Havo is de rekentoets inderdaad veel slechter gemaakt (zie wiskundEbrief 633)

Mijn voorspelling lijkt op meerdere punten dus redelijk goed uitgekomen, maar het is nog even wachten op de officiële uitslag en analyse. De vraag of de rekentoets valide is (en of een degelijke voorbereiding op deze rekentoets mogelijk is), laat zich misschien toch al beantwoorden. Ik vermoed namelijk van niet. Om een acceptabel aantal leerlingen op de havo een vijf of hoger te laten halen voor de toets, moet vrijwel iedereen op het vwo voor deze zelfde toets een voldoende halen. Maar dat maakt deze toets op het vwo overbodig, aangezien bij ons verreweg de meeste leerlingen zonder noemenswaardige voorbereiding het toch "gehaald" hebben. Laat je in de pilots een aanzienlijk deel op het vwo een onvoldoende halen, opdat ook vwo-ers zich uiteindelijk flink moeten inzetten voor een voldoende resultaat, dan veroorzaakt dat op de havo waarschijnlijk met dezelfde 3F toets alsnog een onacceptabele slachting.



Een interessante vraag is in hoeverre je leerlingen kunt voorbereiden op de rekentoets. Of is de rekentoets niet meer dan een soort van intelligentie- of aanlegtest. Gezien de minieme verschillen tussen 2F en 3F op "rekentechnisch" vlak, lijkt het me een pittige klus om voor leerlingen geschikt materiaal te vinden, te maken, om ze van niveau 2F op 3F te krijgen, waar het niet een natuurlijk proces is van ouder en wijzer worden. Nog meer oefenen met contexten, verwarring scheppen in de gegevens, de rekensom uit het verhaal halen, overbodige gegevens negeren, een denkstapje toevoegen, wordt lastig met slechts een paar vrijgegeven voorbeeldtoetsen. En vraag blijft of leerlingen na al dat oefenen daadwerkelijk beter kunnen rekenen. Wat dat is, 'kunnen rekenen', daar moet men trouwens eerst maar eens overeenstemming over bereiken.

Er is veel kritiek op de rekentoets zelf. Vooral het niet kunnen bladeren (moeilijke opgaven voor het laatst bewaren) en het achteraf niet kunnen inzien van de opgaven en eigen uitwerkingen (en daarvan kunnen leren), worden als zeer bezwaarlijk genoemd. Ook zaken als significantie, afronden, en het alleen beoordelen van het eindantwoord (niet de aanpak) zijn hoogst ongebruikelijk voor een examen waar zoveel van afhangt. Tevens doet een toetsduur van 120 minuten een groot beroep op het concentratievermogen van de leerlingen. Heeft schaven aan de rekentoets wel zin?  Zal een kortere toets, die met de hand wordt nagekeken (aanpak incluis), en waarin bladeren wel mogelijk is, wel tot acceptabele resultaten leiden. Ik vrees van niet. De leerdoelen blijven immers hetzelfde en de vertaling van leerdoelen naar toetsvragen zal voor de geloofwaardigheid van doel en uitvoerbaarheid er waarschijnlijk niet opeens heel anders uit gaan zien. Kunstgrepen als minder tekst, minder contextvragen, beperkter gebruik van de rekenmachine zouden toch vreemd zijn na zorgvuldige vertaling van referentieniveaus in leerdoelen en toetsvragen. Je kunt functioneel rekenen niet opeens anders gaan definiëren, toch? Of wordt de letter F weer de afkorting van fundamenteel? Misschien is het goed om bij het begin te beginnen en de hele problematiek rondom het rekenen opnieuw te bezien.

Ik meen zelf dat de rekentoets overbodig zou moeten zijn in het vo. De dramatische uitkomsten maken misschien wel pijnlijk zichtbaar dat een deel van de leerlingen te "hoog" (of verkeerd) is ingedeeld. Van havo- en vwo-leerlingen mag je toch verwachten dat ze bij aanvang in het vo goed zijn in rekenen, dat je kunt voortbouwen op een gedegen ondergrond. In uitzonderlijke gevallen moet je leerlingen met een rekenachterstand bijspijkeren, maar daarvoor moet je niet aan het einde van de rit alle leerlingen onderwerpen aan een test waar ze ook nog eens op afgerekend worden (dat is toch veel te laat). Testen en hiaten wegwerken doe je gaandeweg. Vertrouw erop dat leerlingen met hbo- en wo-potentie, ofwel leerlingen die uiteindelijk met de nu bestaande examenvakken een havo of vwo diploma zullen halen, voldoende rekenvaardig zijn/worden voor de richting die zij op zullen gaan. M.a.w. integreer het onderhouden, verbreden en verdiepen van rekenvaardigheden en -inzichten in de kerndoelen van de bestaande vakken.

Het is fout te concluderen dat alle leerlingen met een onvoldoende voor de rekentoets 3F niet thuis horen op het havo of vwo. Neen, je kunt immers ook slagen met een vijf voor rekenen. En niet iedere leerling is voluit gegaan bij het voorbereiden op de generale repetitie van de rekentoets, waarop zakken tot 2015/2016 onmogelijk is. Lesmateriaal laat nog steeds te wensen over, methodes zijn nog niet klaar. Welke aanpak was doeltreffend, is die er al? Maar bovenal de validiteit van de rekentoets staat niet onomstotelijk vast. Met een aantal verbeteringen aan de rekentoets zelf, zal wellicht nog een deel van de leerlingen voorbij de cesuur getrokken kunnen worden, maar ik vermoed dat een substantieel deel nooit zal slagen voor 3F op het havo en vwo (en zal dus een 4 of lager halen). Zij horen daar waarschijnlijk dan ook niet thuis. Wie dat zijn, moet je uiteraard niet boven water krijgen met een rekentoets in het examenjaar, dat moet op de lagere school al of z'n laatst in klas 1 of 2.

Helaas krijgen niet alle leerlingen op de basisschool het kwalitatief goede rekenonderwijs dat ze verdienen. Ik vind het wonderlijk dat men dat probeert te repareren met een rekentoets in het vo. Moeten de klassen (zowel po als vo) niet gewoon kleiner, moeten de leerkrachten niet meer ondersteuning, tijd en ruimte krijgen om meer kwaliteit te leveren. Moet diploma-inflatie (of devaluatie) niet eens aangepakt worden? Moet het beroep van leerkracht op de lagere school niet veel meer waardering en aantrekkingskracht krijgen, met hogere eisen op pabo's, met hogere salarissen? Moet het loon van alle meesters en juffen niet gelijk getrokken worden aan docenten in het vo? Moet geld dat bedoeld is voor onderwijs niet meer bij de leerkracht en leerling terecht komen? Waarom lekt er zoveel geld weg? Waarom verdienen zoveel mensen in of om het onderwijs meer dan de mensen die voor de klas staan? Waarom wordt er zoveel geld gestoken in bureaucratische maatregelen waarvan onduidelijk is of die goed zullen uitpakken (denk aan de bavo-toetsen, nu weer het rekenbeleid, lerarenregister, straks weer de tussentoetsen). Waarom niet investeren in het primaire proces? Preventief investeren in plaats van de zooi van wanbeleid en bezuinigingen opruimen. Moeten wij docenten, schoolleiders, medewerkers in het onderwijs, ouders, of eigenlijk alle Nederlanders niet veel meer opkomen (in verzet komen) voor onze kinderen, om te knokken voor onderwijsbeleid dat echt oplost wat er mis gaat?

Doel van wiskunde (vervolg)

Ik geloof dat ik het (tot nu toe) met een groot deel van de inzendingen eens ben op het forum: "Het echte doel van het wiskundeonderwijs" op de site van de NVvW.  Het lijkt hier en daar dat er een verschil van mening is, maar in sommige gevallen is dat toe te schrijven aan een andere interpretatie van de gebruikte woorden, en bedoelen we toch min of meer hetzelfde. Grappig is dat helderheid enerzijds vraagt om een eenduidige, ondubbelzinnige formulering, een abstracte taal als wiskunde voldoet daaraan, anderzijds moet je soms concreet zijn om duidelijk te maken wat je nu precies bedoelt. Het begrip belevingswereld bijvoorbeeld, wat bedoelen we hiermee? Moet belevingswereld eerst streng gedefinieerd worden voordat je het kan gebruiken, of volstaat een simpele, letterlijke vertaling?

Belevingswereld

Ik vermoed dat aansluiten op de belevingswereld vaak geïnterpreteerd wordt als aansluiten op wat leerlingen meemaken buiten de les. Ik denk dat dat een groot misverstand is. Een groot deel van de tijd brengen leerlingen immers door in de schoolbanken. Maar dan behoort voorkennis ook tot de belevingswereld van leerlingen. Oh, gelukkig! Aansluiten op de belevingswereld is dus ook aansluiten op voorkennis. Opgelost! :-) Belangrijk is wel dat je bij voorkennis niet moet vergeten over de muurtjes van het eigen vakgebied te kijken. Contexten voor wiskunde komen vaak bij andere vakken vandaan. Wiskunde heeft daarmee ook een ondersteunende rol, een rol of doelstelling die ik liever onderbelicht laat, want straks wordt het vak wiskunde nog ingelijfd door natuurkunde of economie. Als je nadenkt over "het doel van wiskunde", dan zijn er dus redenen nodig die wiskunde bestaansrecht geven als zelfstandig vak.

Willem van Ravenstein schrijft in zijn deel 4 over wiskunde:

"Abstractie maakt de wiskunde op meerdere momenten bruikbaar, eenmaal begrepen concepten en structuren worden herkenbaar in andere en zelfs in geheel nieuwe situaties". 

Ik vind dat mooi, echter moet ik ook bekennen dat bij andere vakken wiskunde helaas niet altijd als dusdanig herkend wordt. Ik denk dat op dit punt in ons onderwijs nog veel winst te behalen is, door vakken middels relevante contexten met elkaar te verbinden, door didactiek, aanpak en notaties onderling af te stemmen, maar ook door "van concreet naar abstract", en "van abstract naar concreet" gedoseerd af te wisselen. Ik heb het idee dat methodeschrijvers omwille van profilering te veel kleur bekennen en doorslaan in een van beide richtingen. Getal en Ruimte begint abstract, en komt na veel oefenen aan het eind met een (gekunstelde) toepassing. Moderne Wiskunde construeert meer samen met de leerling de wiskunde zelf, abstractie wordt uitgesteld, maar inzicht krijgt direct volop aandacht met concrete aansprekende contexten.

Context

Een tweede misverstand is dat de wiskunde zelf vaak niet als context gezien wordt. Als voorkennis onderdeel is van de belevingswereld, dan kan ons eigen vakgebied, of rekenen als voorloper daarvan, natuurlijk ook als context dienen. Als voorbeeld van concreet naar abstract noem ik de Ditwis Rijen uit klas 1 (bereken het 37e getal in de rij 3, 5, 7, 9, ...) Met deze vraag trainen we het vinden van een lineaire formule. De context lijkt geen doel te hebben, maar het maakt duidelijk dat een formule niets anders is dan een rekenvoorschrift dat in dit geval het getal uit de rij berekent als je de plek, het nummer van het getal weet. En het leuke is dat ik leerlingen niet hoor mopperen wat nou het doel van die formule is, je kan er immers dat stomme getal mee uitrekenen, dat is doel genoeg, voor even. Ik vrees dat als ik eerst andersom het y = ax + b recept volledig behandel en daarmee laat zien dat je met zo'n formule het zoveelste getal kan uitrekenen, dat leerlingen zich massaal zullen afvragen waarmee ze in vredesnaam bezig zijn. Wat ik bedoel te zeggen is dat als je context toevoegt aan wiskunde, deze bij aanvang een ondersteunende rol moet hebben (om tot inzicht en abstractie te komen); zodra je de context aan het einde toevoegt, de context tot doel maakt, dan moet het wel een verdraaid goede toepassing zijn om nog geloofwaardig over te komen. Het moment waarop je context toevoegt kan dus cruciaal zijn. Verkeerd timen kan leiden tot de gevreesde waarom vraag (waarom moeten we dit leren).

De context hoeft niet eens realistisch te zijn om geloofwaardig over te komen, een uitdagend puzzeltje voldoet prima. Het mag in eerste instantie ook een versimpeld model van de werkelijkheid zijn (wiskunde is ook modelleren). Tien euro abonnement en 20 cent per minuut gesprekskosten is voor mobiel bellen wellicht in dit tijdperk met o.a. gratis belminuten niet realistisch meer te noemen, het is wel een makkelijk voor te stellen model voor de werkelijkheid. Je kan er heel goed een formule mee vinden als in een tabel om de 5 minuten (lekker realistisch) gegeven is welk bedrag betaald moet worden. Contexten kunnen wat mij betreft prima ingezet worden om de weg naar abstractie en de algemene y= ax + b denkwijze te verhelderen.
Een groot deel van de schoolwiskunde bestaat uit het beschrijven van verbanden middels het kwartet context, tabel, grafiek en formule; eerst met slechts twee variabelen, beginnend bij lineaire verbanden, gevolgd door kwadratische-, wortel-, machts-, exponentiële- en hyperbolische verbanden.
Waarom zouden we context dan niet mogen gebruiken in de (school)wiskunde? Tot de macht nul, kun je uitleggen aan de hand van regelmaat, ook met gebruik making van de rekenregels g^a/g^a=g^(a-a) = g^0 = 1, maar toch ook met een context bij exponentiële groei: A(t) = b * g^t  waarbij A(0) = b alleen opgaat als g^0 =1. Wiskunde leer je niet door in de abstractie te blijven hangen, wiskunde leer je door alle mogelijke manieren aan te grijpen om die abstractie te doorgronden. Contexten zijn wat mij betreft een onmisbaar onderdeel in de didactiek om abstracte zaken te verhelderen of om tot abstractie te komen. Zodra de abstractie er is, dan kunnen andere vakken dienen als toepassingsgebieden, kun je weer van abstract naar concreet gaan. Vraag of uitdaging blijft voor mij wel of we door beperking van overlap tussen de verschillende vakken, niet meer tijd kunnen winnen.

Receptwiskunde of zelf (of samen) ontdekken.
Bijkomstig voordeel van zelf de wiskunde (her)ontdekken is dat je dezer wijze vrij natuurlijk (samen) tot meerdere aanpakken komt, je bijvoorbeeld naast het y = ax + b recept ook gelijkwaardige formules met haakjes kunt vinden. Veel docenten (en uitgevers) huiveren voor meerdere aanpakken, verkiezen één recept dat altijd werkt. "Daarmee halen ze de toets tenminste". "Flink oefenen, inzicht komt later wel", zijn kreten die mij welbekend in de oren klinken. Maar strookt deze denkwijze wel met het echte doel van wiskunde? Is het niet juist belangrijk ingewikkelde zaken van meerdere kanten te belichten, zodat leerlingen echt boven de stof (kunnen) komen te staan?
Er zijn docenten die bij rekenen het verkrijgen van een juist antwoord belangrijker vinden dan een begrijpelijke aanpak. Ze zweren bij een strak algoritme dat altijd werkt, maar dat niet per se begrepen hoeft te worden. Ligt het niet meer voor de hand, in het tijdperk van mobiele rekenapparaten, juist meer aandacht te hebben voor het begrijpen van die aanpak? En is voor een goed begrip niet meer nodig dan voordoen en na-apen. Moeten leerlingen niet veel meer zelf aan het denken gezet worden, in plaats van het klakkeloos uitvoeren van een onbegrepen recept? Ik geloof dat de waarheid ergens in het midden ligt. Zelf ontdekken houdt een keer op, sommige dingen verzin je gewoon niet zelf. Receptwiskunde aan de andere kant is soms dodelijk saai en roept vaker dan nodig de waarom vraag op. Het wordt pas leuk als er iets te ontdekken valt. Dat lukt minder makkelijk via een individuele leerroute, gestuurd door de methode. Samen ontdekken is veel leuker en met directe interactie kun je sneller en makkelijker de diepte opzoeken, verschillende aanpakken bekijken, tot een beter begrip komen. Zonder een gids aan je zijde, loop je veel moois voorbij.
Denk nou niet dat ik anti-staartdeling ben of dat ik het ouderwetse cijferen niets vind. Integendeel, ik ben juist voor deze beknopte heldere notaties. Maar het ordelijk en begrijpelijk noteren vind ik veel belangrijker dan het krijgen van het juiste antwoord (alhoewel een goed antwoord ook wel fijn is). Getalbegrip is het doel, niet het snel vinden van het juiste antwoord. Die strijd moet je niet willen winnen van een rekenapparaat, toch? Ik vrees dat tegenwoordig de "snelle leerling" op de lagere school te vaak "weggezet" wordt met een rekenboekje. Aandacht gaat vooral naar de leerlingen die moeilijk mee komen. Ook op de middelbare school worden bij wiskunde de snelle leerlingen overgeleverd aan de methode, waarbij (extra) stof zelfstandig doorgewerkt moet worden terwijl de docent bezig is het aantal onvoldoendes in de klas probeert te beperken. Dat verklaart wellicht de receptwiskunde van Getal en Ruimte, waarmee leerlingen in eigen tempo de stof kunnen doorwerken, en zonder docent een heel eind kunnen komen. Best knap, zo'n snelweg naar het eindexamen. En het werkt ook nog. Verreweg de meesten slagen. Ik verkies toch liever de groene route. Af en toe verkeerd rijden. Stilstaan bij mooie ontdekkingen. Je bent iets langer onderweg, maar je hebt wel meer het idee zinvol bezig te zijn, dat je interessante dingen leert. Met zelf of samen ontdekken krijg ik minder de waarom vraag, dan met zelfstandig, methode gestuurde recept-wiskunde.

Vaardigheden versus inzicht
Vaardigheden zijn nodig om inzicht te laten beklijven, om het geleerde te verankeren. Te veel oefening leidt tot de gevreesde waarom-vraag, te weinig tot onvoldoende beheersing. Het op tijd heen en weer schakelen tussen concreet en abstract, tussen vaardigheden en nieuwe inzichten, moet leerlingen bij de les houden. Opvallend vind ik dat er in de bestaande methodes veel bezuinigd wordt op inzicht. Maakt dat vaardigheden niet tot een doelloze bezigheid? Het antwoord op de vraag "wat kan je hiermee" wordt in de methodes (en examens) dan gezocht in vaak onwerkelijke toepassingen, waarmee de zin van wiskunde alleen maar nog meer in twijfel getrokken wordt. Werkelijk doel is toch komen tot nieuw inzicht, het verder doorgronden van de wiskunde, waarmee niet alleen op eigen vakgebied maar ook bij de andere vakgebieden terreinwinst gemaakt kan worden. In de de tijd dat ik op een (i)vmbo werkte, zag ik dat de methode bijna geheel ontdaan was van inzicht. Moet je dan nog wel wiskunde aanbieden, vraag ik me dan af. Kun je dan niet beter louter werken aan gecijferdheid? Of inzetten op vaardigheden die nauw aansluiten op de toekomstige beroepsuitoefening? Of gericht inzetten op vooral ondersteuning van andere vakken. Is het leren van wiskundige vaardigheden zonder inzicht wel zinvol? Heeft wiskunde met puur inzetten op vaardigheden wel bestaansrecht als zelfstandig vak? Waar het nodig is om aansluiting te vinden voor het vervolg onderwijs, tja, dan moet wiskunde op het programma blijven staan. Verder mag het van mij uit de lessentabel als je er verder nooit meer iets mee doet. Integreer het maar met andere vakken. Maar waar wiskunde overeind blijft, durf dan ook te vragen, houd de markante bewijzen erin, van wortel twee is geen breuk tot de hoeken-issue bij Pythagoras. Waarom wordt daarop bezuinigd? Waarom wordt dat weggedrukt als verdieping?

Wiskunde A, B, C en D
Tot op heden is wiskunde C op het vwo bijna gelijk aan wiskunde A, minus hypothese toetsen, differentiëren en wat algebraïsche vaardigheden. Het is mij niet helemaal helder, waarom in de voorbereiding op het wetenschappelijk onderwijs, waarin onderzoekers worden opgeleid, juist hypothese toetsen geschrapt wordt. Is haalbaarheid meer doorslaggevend voor de inhoud dan aansluitng op het vervolgonderwijs? En waarom zit er geen logica in de verschillende verplichte wiskunde varianten, dat is toch voor iedereen leuk en relevant? Wiskunde C als uitgeklede versie van wiskunde A, mag wat mij betreft van de lessentabel verdwijnen, maar een wiskunde C die werkelijk voorbereidt op het vervolgonderwijs, mag blijven.
Het is net zozeer vreemd dat leerlingen die NT met wiskunde B gedaan hebben zonder wiskunde D in het pakket een TU mogen instromen. Waarom geven vervolgopleidingen niet veel duidelijker aan welke leerdoelen nodig zijn om een gerede kans van slagen te hebben. Als we het hebben over het doel van wiskunde, dan heeft het vervolgonderwijs een belangrijke taak bij het aangeven van de leerdoelen die als voorkennis noodzakelijk of gewenst geacht worden. Gebeurt dat wel voldoende?
Op het vwo lijkt me statistiek, waarschijnlijkheidsleer (kans) en logisch redeneren onmisbaar als ondergrond voor wetenschappelijk onderwijs. Ik begrijp wel dat, naast de roep om wiskunde op een gegeven moment te kunnen laten vallen, er ook behoefte is aan een wiskundevariant die voor alle profielen op het vwo verplicht wordt gesteld. Voor het havo zou de onderbouw wiskunde misschien genoeg moeten zijn als gemeenschappelijk deel. Ik ben benieuwd wat wiskunde alfa en beta ons zal brengen.

Kennen, kunnen, begrijpen.
Samenvattingen in de wiskundeboeken worden vaak misbruikt om vlak voor de toets te kijken waar het hoofdstuk over gaat, om zodoende nog proberen enkele vragen goed te beantwoorden. Het lijkt een beetje op paniekvoetbal, de laatste minuut de keeper naar voren sturen, in de hoop nog een punt te scoren. Het getuigt niet echt van een goede wedstrijd, of van een goede voorbereiding. Veel zinvoller is het om leerlingen zelf een samenvatting te laten maken of bijhouden. Het maken van een kennen-kunnen-begrijpen-lijst is aan te bevelen. In de kennen-kolom (weten) komen de nieuwe begrippen, regels, weetjes die ze geleerd hebben, in de kunnen-kolom wat ze moeten kunnen uitrekenen, tekenen of beredeneren (voordoen, gebruiken), en in de begrijpen-kolom komt wat je moet kunnen bewijzen of uitleggen (het vereiste inzicht waarom iets werkt). De regel voor de inhoud van een piramide bijvoorbeeld moet je kennen (weten, onthouden), kunnen (er mee rekenen, gebruiken) en begrijpen (aannemelijk maken dat de regel klopt). Deze drie beheersingsniveaus laten zich in klas 1 makkelijk toelichten met bijvoorbeeld hoe je breuken vermenigvuldigt.
3/4 * 2/5 = 3/10 (je hebt het antwoord onthouden, kennen is weten)
3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/10 (niveau kunnen, uitvoeren, voordoen)
3/4 * 2/5 tekenen en inzichtelijk maken waarom de regel (T*T)/(N*N) werkt (begrijpen dus)
Zo probeer je bij wiskunde de begrijpen kolom zoveel mogelijk gevuld te laten zijn, dan hoef je ook minder te onthouden en minder te oefenen. Als ik op zoek ga naar voorbeelden waarbij het niet lukt om leerlingen begrip bij te brengen bij geleerde vaardigheden, dan vraag ik me direct af wat dan de zin daarvan is. De oppervlakte en inhoud van een bol bijvoorbeeld. Het bewijs hiervan komt niet gelijktijdig met het geven van de regel. Hoort dit dan wel thuis in het vak wiskunde, of moet het pas aan bod komen als je de regel wel aannemelijk kan maken? De regel van Euler is er ook zo een. In klas 1 moeten ze die onthouden en gebruiken om te controleren of het aantal vlakken + hoekpunten wel gelijk is aan ribben + 2. Maar ze hoeven van mij deze regel niet te bewijzen. Is het dan wel zinvol? Toch wil je de leerlingen deze mooie regels niet onthouden, daar zijn ze te mooi voor. Net zoals het getal pi. Maar ja, wat moet je ermee?

Exact of een benadering.
Een opvallend verschil tussen wiskunde A en B is dat bij wiskunde B veel vaker een exact antwoord gewenst wordt terwijl bij wiskunde A een benadering met de (grafische) rekenmachine berekening volstaat. Er gaan zelfs stemmen op om de rekenmachine in het geheel te verbieden. Maar hoe verkoop je dat? De leefwereld van leerlingen barst van de (mobiele) apparaten waarop gerekend kan worden. Zonder verdere argumenten vind ik dat de leerlingen vertrouwd moeten raken met de mogelijkheden van mobiele rekenapparaten, gewoon omdat het kan.
Evenzo moeten leerlingen een aantal zaken nog steeds exact uit kunnen rekenen, weer gewoonweg, omdat het kan. Sin15, cos15, tan 15 exact uitrekenen is puur vermaak.
Maar soms vraag je je af: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?
Oké, dat is dan twee-een voor de (grafische) rekenmachine!
Je moet toch ergens tijd winnen om de wiskunde vooruit te helpen...

Computer als hulpmiddel.
Ik ben nu helemaal gelukkig met een smartboard, met twee uitklapborden en laptops voor iedereen. Ik maak liever geen keuze wat beter is, maar een uitbreiding van de mogelijkheden (presentaties, animaties, de DWO, Youtube, Geogebra en de GR), daar kan toch niemand op tegen zijn. Je moet al die hulpmiddelen echter wel op een zinvolle en constructieve manier inzetten, anders kan het averechts werken. En zo ben je het eens met iedereen, of eh... ;-)