zondag 25 januari 2015

Het rekenbrevet

Ons rekenprogramma in klas 1 G1 Rekenen (ww: 'geen') heeft iets weg van het halen van een rekenbrevet, een bewijs dat je 'rekenmachinewaardig' bent. Ofwel, je mag pas een rekenmachine gebruiken, als je de sommetjes ook zonder rekenmachine kan oplossen. Dat vind ik wel fair. Waarom zou je geen gebruik mogen van rekenmachine als je hebt aangetoond het ook zonder te kunnen. Er bestaan rekenmachines op de markt die pas antwoord geven als je eerst zelf een goede schatting invoert. Zo'n ding zou ik nooit kopen. Waardeloos toch?! Dat moet op een gegeven moment gaan irriteren.  Misschien bestaan er ook rekenmachines die pas antwoord geven als je zelf het correcte antwoord invoert, een soort nakijkapparaat. Het moet niet gekker worden. Er schiet van alles door m'n hoofd, slagroomkloppers die het pas doen als ..., of auto's die pas willen starten als ..., nou ja, je begrijpt het al. Het gemak dient de mens!

Bij rekenen ligt het toch iets genuanceerder. Je moet wel degelijk kunnen rekenen om verder te komen met wiskunde of andere rekenvakken. Het gaat dan niet zo zeer om snel het juiste antwoord vinden, maar meer om getalbegrip en gevoel, dat je - als het moet - heus wel foutloos tot een uitkomst kan komen, maar simpelweg liever de rekenmachine pakt omdat je je wil richten op het werkelijke probleem, de context wat mij betreft.

De rekentoets VO richt zich met name op die contexten, waarbij het 'echte rekenwerk' op de rekenmachine gedaan mag worden. In een poging de critici tevreden te stellen worden er extra kale sommen tussen gestopt om enig begrip van de getallen zelf en de bewerkingen af te dwingen. De definitiekwestie, wat rekenen precies is, maar ook hoe je het (aan)leert, leidt tot grote discussies in het land. Wat mij betreft mag basisschool rekenen gedefinieerd worden als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van gehele getallen, breuken en decimale getallen, zowel handig, cijferend als soms uit het hoofd, maar zonder rekenmachine (oh, ik vergeet procenten, en metriek...). Deze definitie kun je voor het voortgezet onderwijs uitbreiden met machtsverheffen, voorrangsregels, negatieve en irrationale getallen, met en zonder rekenmachine. Contexten kunnen dienen als toepassing ter motivatie of ter ondersteuning van het begrip, zowel in het po als het vo, maar moeten geen doel op zich worden, daar hebben we andere vakken voor. Functioneel rekenen, net zo belangrijk als 'kaal' rekenen, zou ik anders definiëren. Het belang van functioneel rekenen staat hier mooi en helder opgeschreven.

Volgens mij slaagt het po er onvoldoende in om het kale basisschool rekenen goed te onderwijzen, en het vo het 'voortgezet rekenen'. Zowel het po als het vo lijken extra prikkels nodig te hebben om het rekenniveau af te leveren waar de samenleving of het vervolgonderwijs om vraagt. Het po richt zich wellicht te veel op de cito-toets, hetgeen geen garantie biedt dat alle kinderen het kale rekenen onder de knie krijgen. En ik vrees dat vooral de compensatiemogelijkheden in het voortgezet onderwijs oorzaak zijn dat er leerlingen tussendoor glippen die elementaire vaardigheden onvoldoende beheersen.

Een oplossing zou een rekenbrevet kunnen zijn, dat je pas bemachtigt als je, laten we zeggen 80% van een aantal standaard rekenopgaven foutloos (zonder rekenmachine) kunt maken. Een rekenexamen zonder verrassingsvragen. Alle opgaven kunnen vooraf eindeloos geoefend worden met 'random' getallen. Op het examen weer dezelfde vragen maar dan met andere getallen. Typisch teaching-to-the-test dus. Er moeten dan ook een paar vervelende sommen tussen zitten, waar je check, double check en zelfs triple check nodig hebt om zeker te zijn dat je antwoord juist is. Een toets zonder al te veel tijdsdruk, het moet voor iedereen haalbaar zijn, ook voor trage rekenaars en faalangstigen onder ons.

Het rekenbrevet zou geen landelijke aangelegenheid moeten worden, maar het po mag best weten op welke rekenvaardigheden middelbare scholen graag zouden willen aansluiten zodat duidelijk wordt waar het po naar toe moet werken. Dat is nu onvoldoende duidelijk. Ik heb de vragen uit ons rekenprogramma toegevoegd aan het 8-plus project, maar slechts een enkeling doet daaraan mee en krijgt deze vragen te zien. Op een of andere manier slagen middelbare scholen er niet in om duidelijk te maken welk rekenniveau ze verwachten in klas 1. Sterker nog, zolang leerlingen in het vo hun examens blijven halen, is dat een signaal voor het po dat het kennelijk voldoende is wat ze doen. En de rekentoets VO test geen basisschool rekenen, het po hoeft zich dus niet dus schuldig te voelen als die slecht gemaakt wordt. Nee, iedere middelbare school moet op eigen wijze invullen hoe zij voldoende rekenvaardigheden garanderen met het afgeven van een diploma. Iedere middelbare school moet duidelijk laten zien waarop docenten willen voortborduren bij wiskunde en andere rekenvakken. En iedere school zou moeten terugkoppelen richting basisschool hoe het de leerlingen vergaat. Het is niet verwonderlijk dat de overheid de kloof tussen po en vo probeert te dichten met leerlingvolgsystemen als VAS en garantie zoekt met rekentoetsen bij het examen. Dat mag het onderwijsveld zichzelf deels aanrekenen, maar ja, veel tijd en ruimte krijg je er niet voor.

Vraag is wat er met de rekentoets 3F moet gebeuren. Stel dat de onderliggende niveaus gehaald zijn, en dat leerlingen tevens beschikken over een rekenbrevet, dan nog zullen grote aantallen leerlingen niet slagen voor deze toets. Dat komt niet alleen door ondeugdelijke vragen, dubieuze antwoordmodellen, stressvolle afnamecondities, het grote aantal vragen en verschillende contexten, het aantal denkstappen per vraag,  al deze factoren zou je kunnen corrigeren met het bijstellen van de cesuur, nee, het heeft ook met voorbereiding te maken. Zolang het examen niet meetelt in de slaag/zakregeling, zolang het niet meetelt voor het rapport (als apart vak of module), zolang er niets van afhangt, dan zullen leerlingen echt niet vrijwillig in groten getale gaan zwoegen voor deze toets. Met meer dan één herkansing voor deze toets zullen de meeste leerlingen eerst kijken wat ze halen zonder zich uitgebreid voor te bereiden. De roep om de rekentoets toch mee te laten tellen en het aantal herkansingen te beperken begrijp ik ergens wel, maar kaal basisschool rekenen, leren ze er niet van. Dat Sander Dekker dat nog niet door heeft, vind ik ernstig, een brevet van onvermogen. De rekentoets moet zo snel mogelijk afgeschaft worden, dat had ik hier eerder al toegelicht.

Het idee is dus simpel. Leerlingen moeten het gebruik van hun rekenmachine eerst verdienen. Niet dat ik bij een toets waarbij een rekenmachine gewenst is leerlingen het gebruik ervan ontzeg, het rekenbrevet staat daar los van. Het is de bedoeling dat de leerling rekenen net zo vaak herkanst, desnoods met hulp van een remedial teacher, totdat het brevet gehaald is. Vanaf dat moment mogen leerlingen zonder gêne het rekenapparaat gebruiken. Onderhouden van rekenvaardigheden hoeft wat mij betreft dan ook géén extra aandacht, niet meer dan er nu al is bij wiskunde en de andere rekenvakken. Het brevet is immers gehaald. Ajb geen paragrafen in de wiskundeboeken met rekensommen van de basisschool. Het vo heeft zo haar eigen doelen.

3 opmerkingen:

  1. “Waarom zou je geen gebruik mogen van rekenmachine als je hebt aangetoond het ook zonder te kunnen.’

    Het gaat om het geautomatiseerd beschikbaar hebben van eenvoudige rekenfeiten, tot en met eenvoudige procedures. Een kwestie van verbindingen in je hersenen, verbindingen die onderhouden moeten worden want ze zijn aan degeneratie onderhevig. En daar zit hem het punt: de rekenmachine gaan gebruiken voor eenvoudige bewerkingen, omdat je er niet meer helemaal zeker van bent dat 7 x 8 = 56, gaat dus van kwaad tot erger. Een psychologisch vermoeden is namelijk dat intikken van getallen en passief uitlezen van uitkomsten geen noemenswaard leereffect oplevert; natuurlijk zul je bij achter elkaar op de rekenmachine uitrekenen van 7 x 8 heel snel weten wat eruit komt, maar dat is typisch niet het geval bij rekenmachinegebruik. Het effect van groeiende rekenmachineafhankelijkheid is dat je teksten met getalsmatige informatie steeds minder goed kunt lezen. Hetzelfde fenomeen als bij gebrekkige formulevaardigheid: in een tekst met zelfs slechts eenvoudige wiskundige formules sla ik die formules over want het kost me teveel tijd om ze te lezen. Totdat ik dan helemaal in de tekst vastloop, natuurlijk.

    Gebruik van de rekenmachine toestaan is waarschijnlijk dodelijk voor de rekenvaardigheid, ook voor die leerlingen die om te beginnen heel rekenvaardig waren.

    Ja maar, bewerkingen met vervelende getallen dan, zoals die typisch voorkomen in contextopgaven uit de school van het realistisch rekenen? Wat is erop tegen om die op kladpapier uit te rekenen? Dat onderhoudt ook de eenvoudige rekenfeiten.

    Ik zou over een en ander eens een toegankelijk artikeltje moeten schrijven, met enkele sleutelpublicaties als toegang tot de relevante onderzoektliteratuur en theorie.

    Als ik nu een publicatie zou moeten noemen: werk van Christian Lebiere http://act-r.psy.cmu.edu/?post_type=authors&p=10488
    in het bijzonder zijn dissertatie
    The dynamics of cognition: An ACT-R model of cognitive arithmetic (1998)
    http://act-r.psy.cmu.edu/?post_type=publications&p=13870
    direct:
    http://act-r.psy.cmu.edu/wordpress/wp-content/uploads/2012/12/236cl_1998_a.pdf

    Alleen om door te bladeren, natuurlijk. Voor een eerste indruk hoe aan de frontlijn van de cognitieve psychologie onderzoek wordt gedaan naar zoiets eenvoudigs als rekenen ;-)


    BeantwoordenVerwijderen
  2. Ik vind de reactie van Ben Wilbrink wel erg zwart-wit.
    Als je aangetoond hebt zonder rekenmachine te kunnen rekenen mag je van mij in voorkomende gevallen de rekenmachine gebruiken, maar dat wil niet zeggen, en dat beweert David Dijkman ook nergens, dat dan daarna op school altijd alles met de rekenmachine zou moeten. In de schoolsituatie lijkt het me zinvol dat er in het kader van het onderhouden van de rekenvaardigheid regelmatig ook weer gerekend blijft worden met "kale" sommen zonder RM. Ik zag dat in de nieuwe 4H-delen wiskunde van G&R ook gebeuren en ik ga ervan uit dat (in dit geval rekenen met breuken) ook zonder RM getoetst wordt. En, immers, in die vermaledijde rekentoets komen ook "kale" rekenvragen zonder RM voor. Ik ben bang dat de vrees van Ben dus niet helemaal gegrond is...
    Wat is er op tegen om bewerkingen met vervelende getallen even op kladpapier uit te rekenen? Nou, ik denk allereerst dat "even", vooral als het niet meer om het rekenonderhoud zelf gaat. Waarom kregen we op de universiteit de rekenliniaal in handen geduwd, deden we daar numeriek analyse met een rekenmachine en zie ik nu op heel weinig vervolgopleidingen dat kladpapier nauwelijks terug? Omdat studenten ook geleerd hebben het rekenen over te laten aan apparaten en ze en passant ook nog geleerd hebben om kritisch naar de antwoorden te kijken (anders waren ze daar nooit terecht gekomen), net zoals ze kritisch en inzichtelijk naar de aangeboden getalgegevens moesten kijken en moesten inzien oe ze daarmee aan het rekenen moesten slaan. En dat willen we ze in het VO ook leren.
    Ja, Ben jij stuurde ook geen geschreven brief per post naar David over deze materie. Ik neem niet aan dat die groeiende internetafhankelijkheid inzake communicatie bij jou niet heeft geleid tot steeds minder goed schrijven (met een pen op papier).
    P.S. het gebruik van de rekenmachine was bij mij niet dodelijk voor de rekenvaardigheid, maar dat komt misschien omdat ik de batterijen niet tijdig verving ;)

    BeantwoordenVerwijderen
  3. Een van mijn beste leerlingen (echt alle vakken) is niet goed in rekenen, zegt ze. De tafels heeft ze nooit uit haar hoofd geleerd (memoriseren) omdat zij de antwoorden altijd supersnel kon uitrekenen (automatiseren). Nu pakt ze de rekenmachine voor de meest eenvoudige zaken, gaat meestal veel sneller en bijna nooit fout, concludeerde zij. Ik maak haar waarschijnlijk blijer met opgaven als 5 x 6 in het octale stelsel, dan met opnieuw tafels dreunen. Ik vind het sowieso niet erg inspirerend om lagere school sommetjes weer op te nemen in de wiskundeboeken h/v. Stop ze dan in een nieuw jasje. Bijvoorbeeld (2+2/3)*(3+3/4). Doe er iets verrassends mee. Verbind het aan haakjes wegwerken. Vergelijk die aanpak met T/N*T/N en vooraf (kruislings) vereenvoudigen, hoe handig kan dat zijn bij vermenigvuldigen en delen van gemengde breuken. Breid het eens uit met (3+3/4)*(4+4/5), met (4+4/5)*(5+5/6) en er ontstaat een kwadratisch verband (klas 3) of een leuk "toon aan" vraagstuk voor wiB (klas 4). Het is vervelend dat wiskunde vaak te krap in tijd zit om hier uitgebreid aandacht tijd aan te besteden. Wat ik maar wil zeggen, hetzelfde opnieuw werkt niet. Tafels trainen doe je niet meer in het vo. Bij vermenigvuldigen met negatieve getallen weer even leuk, daarna met som-product methode bij ontbinden, en op een gegeven moment houdt het op. Ik hoop dat ze in de nieuwe edities van G&R en MW rekenen een beetje speels en uitdagend weten te verstoppen in echte wiskundeopgaven.

    Ik ben voorstander om de rekenmachine vrij vlot te introduceren in het vo (h/v). Klas1 H5: Machtsverheffen van negatieve getallen of breuken vind ik een goed moment.
    Natuurlijk moet je ze stimuleren om de rekenmachine te laten liggen voor berekeningen die net zo snel uit het hoofd kunnen, en geef je voor het bord het goede voorbeeld, maar goh, ajb niet overdrijven. Bij herken je machten (klas 3 en 4) ga ik weer lekker hoofdrekenen met ze: bereken (1/81)^(-3/4) als voorkennis voor logaritmen: bereken 4log8 (kladblaadje toegestaan). Als het nodig is voor het begrip, ja, dan rekenmachine los!

    Wanneer mag je een rekenmachine gebruiken in het vo en wanneer niet, vind ik een interessante vraag. Ik ben ook erg benieuwd over welke rekenvaardigheden het hoger onderwijs nu precies klaagt. Op welke deficiënties precies lopen studenten bij welke studies nu vast? Ik hoop dat iemand daar duidelijkheid over kan geven.

    BeantwoordenVerwijderen