maandag 1 april 2013

Doel van wiskunde (vervolg)

Ik geloof dat ik het (tot nu toe) met een groot deel van de inzendingen eens ben op het forum: "Het echte doel van het wiskundeonderwijs" op de site van de NVvW.  Het lijkt hier en daar dat er een verschil van mening is, maar in sommige gevallen is dat toe te schrijven aan een andere interpretatie van de gebruikte woorden, en bedoelen we toch min of meer hetzelfde. Grappig is dat helderheid enerzijds vraagt om een eenduidige, ondubbelzinnige formulering, een abstracte taal als wiskunde voldoet daaraan, anderzijds moet je soms concreet zijn om duidelijk te maken wat je nu precies bedoelt. Het begrip belevingswereld bijvoorbeeld, wat bedoelen we hiermee? Moet belevingswereld eerst streng gedefinieerd worden voordat je het kan gebruiken, of volstaat een simpele, letterlijke vertaling?

Belevingswereld
Ik vermoed dat aansluiten op de belevingswereld vaak geïnterpreteerd wordt als aansluiten op wat leerlingen meemaken buiten de les. Ik denk dat dat een groot misverstand is. Een groot deel van de tijd brengen leerlingen immers door in de schoolbanken. Maar dan behoort voorkennis ook tot de belevingswereld van leerlingen. Oh, gelukkig! Aansluiten op de belevingswereld is dus ook aansluiten op voorkennis. Opgelost! :-) Belangrijk is wel dat je bij voorkennis niet moet vergeten over de muurtjes van het eigen vakgebied te kijken. Contexten voor wiskunde komen vaak bij andere vakken vandaan. Wiskunde heeft daarmee ook een ondersteunende rol, een rol of doelstelling die ik liever onderbelicht laat, want straks wordt het vak wiskunde nog ingelijfd door natuurkunde of economie. Als je nadenkt over "het doel van wiskunde", dan zijn er dus redenen nodig die wiskunde bestaansrecht geven als zelfstandig vak.

Willem van Ravenstein schrijft in zijn deel 4 over wiskunde:


"Abstractie maakt de wiskunde op meerdere momenten bruikbaar, eenmaal begrepen concepten en structuren worden herkenbaar in andere en zelfs in geheel nieuwe situaties". 

Ik vind dat mooi, echter moet ik ook bekennen dat bij andere vakken wiskunde helaas niet altijd als dusdanig herkend wordt. Ik denk dat op dit punt in ons onderwijs nog veel winst te behalen is, door vakken middels relevante contexten met elkaar te verbinden, door didactiek, aanpak en notaties onderling af te stemmen, maar ook door "van concreet naar abstract", en "van abstract naar concreet" gedoseerd af te wisselen. Ik heb het idee dat methodeschrijvers omwille van profilering te veel kleur bekennen en doorslaan in een van beide richtingen. Getal en Ruimte begint abstract, en komt na veel oefenen aan het eind met een (gekunstelde) toepassing. Moderne Wiskunde construeert meer samen met de leerling de wiskunde zelf, abstractie wordt uitgesteld, maar inzicht krijgt direct volop aandacht met concrete aansprekende contexten.

Context
Een tweede misverstand is dat de wiskunde zelf vaak niet als context gezien wordt. Als voorkennis onderdeel is van de belevingswereld, dan kan ons eigen vakgebied, of rekenen als voorloper daarvan, natuurlijk ook als context dienen. Als voorbeeld van concreet naar abstract noem ik de Ditwis Rijen uit klas 1 (bereken het 37e getal in de rij 3, 5, 7, 9, ...) Met deze vraag trainen we het vinden van een lineaire formule. De context lijkt geen doel te hebben, maar het maakt duidelijk dat een formule niets anders is dan een rekenvoorschrift dat in dit geval het getal uit de rij berekent als je de plek, het nummer van het getal weet. En het leuke is dat ik leerlingen niet hoor mopperen wat nou het doel van die formule is, je kan er immers dat stomme getal mee uitrekenen, dat is doel genoeg, voor even. Ik vrees dat als ik eerst andersom het y = ax + b recept volledig behandel en daarmee laat zien dat je met zo'n formule het zoveelste getal kan uitrekenen, dat leerlingen zich massaal zullen afvragen waarmee ze in vredesnaam bezig zijn. Wat ik bedoel te zeggen is dat als je context toevoegt aan wiskunde, deze bij aanvang een ondersteunende rol moet hebben (om tot inzicht en abstractie te komen); zodra je de context aan het einde toevoegt, de context tot doel maakt, dan moet het wel een verdraaid goede toepassing zijn om nog geloofwaardig over te komen. Het moment waarop je context toevoegt kan dus cruciaal zijn. Verkeerd timen kan leiden tot de gevreesde waarom vraag (waarom moeten we dit leren).
De context hoeft niet eens realistisch te zijn om geloofwaardig over te komen, een uitdagend puzzeltje voldoet prima. Het mag in eerste instantie ook een versimpeld model van de werkelijkheid zijn (wiskunde is ook modelleren). Tien euro abonnement en 20 cent per minuut gesprekskosten is voor mobiel bellen wellicht in dit tijdperk met o.a. gratis belminuten niet realistisch meer te noemen, het is wel een makkelijk voor te stellen model voor de werkelijkheid. Je kan er heel goed een formule mee vinden als in een tabel om de 5 minuten (lekker realistisch) gegeven is welk bedrag betaald moet worden. Contexten kunnen wat mij betreft prima ingezet worden om de weg naar abstractie en de algemene y= ax + b denkwijze te verhelderen.
Een groot deel van de schoolwiskunde bestaat uit het beschrijven van verbanden middels het kwartet context, tabel, grafiek en formule; eerst met slechts twee variabelen, beginnend bij lineaire verbanden, gevolgd door kwadratische-, wortel-, machts-, exponentiële- en hyperbolische verbanden.
Waarom zouden we context dan niet mogen gebruiken in de (school)wiskunde? Tot de macht nul, kun je uitleggen aan de hand van regelmaat, ook met gebruik making van de rekenregels g^a/g^a=g^(a-a) = g^0 = 1, maar toch ook met een context bij exponentiële groei: A(t) = b * g^t  waarbij A(0) = b alleen opgaat als g^0 =1. Wiskunde leer je niet door in de abstractie te blijven hangen, wiskunde leer je door alle mogelijke manieren aan te grijpen om die abstractie te doorgronden. Contexten zijn wat mij betreft een onmisbaar onderdeel in de didactiek om abstracte zaken te verhelderen of om tot abstractie te komen. Zodra de abstractie er is, dan kunnen andere vakken dienen als toepassingsgebieden, kun je weer van abstract naar concreet gaan. Vraag of uitdaging blijft voor mij wel of we door beperking van overlap tussen de verschillende vakken, niet meer tijd kunnen winnen.

Receptwiskunde of zelf (of samen) ontdekken.
Bijkomstig voordeel van zelf de wiskunde (her)ontdekken is dat je dezer wijze vrij natuurlijk (samen) tot meerdere aanpakken komt, je bijvoorbeeld naast het y = ax + b recept ook gelijkwaardige formules met haakjes kunt vinden. Veel docenten (en uitgevers) huiveren voor meerdere aanpakken, verkiezen één recept dat altijd werkt. "Daarmee halen ze de toets tenminste". "Flink oefenen, inzicht komt later wel", zijn kreten die mij welbekend in de oren klinken. Maar strookt deze denkwijze wel met het echte doel van wiskunde? Is het niet juist belangrijk ingewikkelde zaken van meerdere kanten te belichten, zodat leerlingen echt boven de stof (kunnen) komen te staan?
Er zijn docenten die bij rekenen het verkrijgen van een juist antwoord belangrijker vinden dan een begrijpelijke aanpak. Ze zweren bij een strak algoritme dat altijd werkt, maar dat niet per se begrepen hoeft te worden. Ligt het niet meer voor de hand, in het tijdperk van mobiele rekenapparaten, juist meer aandacht te hebben voor het begrijpen van die aanpak? En is voor een goed begrip niet meer nodig dan voordoen en na-apen. Moeten leerlingen niet veel meer zelf aan het denken gezet worden, in plaats van het klakkeloos uitvoeren van een onbegrepen recept? Ik geloof dat de waarheid ergens in het midden ligt. Zelf ontdekken houdt een keer op, sommige dingen verzin je gewoon niet zelf. Receptwiskunde aan de andere kant is soms dodelijk saai en roept vaker dan nodig de waarom vraag op. Het wordt pas leuk als er iets te ontdekken valt. Dat lukt minder makkelijk via een individuele leerroute, gestuurd door de methode. Samen ontdekken is veel leuker en met directe interactie kun je sneller en makkelijker de diepte opzoeken, verschillende aanpakken bekijken, tot een beter begrip komen. Zonder een gids aan je zijde, loop je veel moois voorbij.
Denk nou niet dat ik anti-staartdeling ben of dat ik het ouderwetse cijferen niets vind. Integendeel, ik ben juist voor deze beknopte heldere notaties. Maar het ordelijk en begrijpelijk noteren vind ik veel belangrijker dan het krijgen van het juiste antwoord (alhoewel een goed antwoord ook wel fijn is). Getalbegrip is het doel, niet het snel vinden van het juiste antwoord. Die strijd moet je niet willen winnen van een rekenapparaat, toch? Ik vrees dat tegenwoordig de "snelle leerling" op de lagere school te vaak "weggezet" wordt met een rekenboekje. Aandacht gaat vooral naar de leerlingen die moeilijk mee komen. Ook op de middelbare school worden bij wiskunde de snelle leerlingen overgeleverd aan de methode, waarbij (extra) stof zelfstandig doorgewerkt moet worden terwijl de docent bezig is het aantal onvoldoendes in de klas probeert te beperken. Dat verklaart wellicht de receptwiskunde van Getal en Ruimte, waarmee leerlingen in eigen tempo de stof kunnen doorwerken, en zonder docent een heel eind kunnen komen. Best knap, zo'n snelweg naar het eindexamen. En het werkt ook nog. Verreweg de meesten slagen. Ik verkies toch liever de groene route. Af en toe verkeerd rijden. Stilstaan bij mooie ontdekkingen. Je bent iets langer onderweg, maar je hebt wel meer het idee zinvol bezig te zijn, dat je interessante dingen leert. Met zelf of samen ontdekken krijg ik minder de waarom vraag, dan met zelfstandig, methode gestuurde recept-wiskunde.

Vaardigheden versus inzicht
Vaardigheden zijn nodig om inzicht te laten beklijven, om het geleerde te verankeren. Te veel oefening leidt tot de gevreesde waarom-vraag, te weinig tot onvoldoende beheersing. Het op tijd heen en weer schakelen tussen concreet en abstract, tussen vaardigheden en nieuwe inzichten, moet leerlingen bij de les houden. Opvallend vind ik dat er in de bestaande methodes veel bezuinigd wordt op inzicht. Maakt dat vaardigheden niet tot een doelloze bezigheid? Het antwoord op de vraag "wat kan je hiermee" wordt in de methodes (en examens) dan gezocht in vaak onwerkelijke toepassingen, waarmee de zin van wiskunde alleen maar nog meer in twijfel getrokken wordt. Werkelijk doel is toch komen tot nieuw inzicht, het verder doorgronden van de wiskunde, waarmee niet alleen op eigen vakgebied maar ook bij de andere vakgebieden terreinwinst gemaakt kan worden. In de de tijd dat ik op een (i)vmbo werkte, zag ik dat de methode bijna geheel ontdaan was van inzicht. Moet je dan nog wel wiskunde aanbieden, vraag ik me dan af. Kun je dan niet beter louter werken aan gecijferdheid? Of inzetten op vaardigheden die nauw aansluiten op de toekomstige beroepsuitoefening? Of gericht inzetten op vooral ondersteuning van andere vakken. Is het leren van wiskundige vaardigheden zonder inzicht wel zinvol? Heeft wiskunde met puur inzetten op vaardigheden wel bestaansrecht als zelfstandig vak? Waar het nodig is om aansluiting te vinden voor het vervolg onderwijs, tja, dan moet wiskunde op het programma blijven staan. Verder mag het van mij uit de lessentabel als je er verder nooit meer iets mee doet. Integreer het maar met andere vakken. Maar waar wiskunde overeind blijft, durf dan ook te vragen, houd de markante bewijzen erin, van wortel twee is geen breuk tot de hoeken-issue bij Pythagoras. Waarom wordt daarop bezuinigd? Waarom wordt dat weggedrukt als verdieping?

Wiskunde A, B, C en D
Tot op heden is wiskunde C op het vwo bijna gelijk aan wiskunde A, minus hypothese toetsen, differentiëren en wat algebraïsche vaardigheden. Het is mij niet helemaal helder, waarom in de voorbereiding op het wetenschappelijk onderwijs, waarin onderzoekers worden opgeleid, juist hypothese toetsen geschrapt wordt. Is haalbaarheid meer doorslaggevend voor de inhoud dan aansluitng op het vervolgonderwijs? En waarom zit er geen logica in de verschillende verplichte wiskunde varianten, dat is toch voor iedereen leuk en relevant? Wiskunde C als uitgeklede versie van wiskunde A, mag wat mij betreft van de lessentabel verdwijnen, maar een wiskunde C die werkelijk voorbereidt op het vervolgonderwijs, mag blijven.
Het is net zozeer vreemd dat leerlingen die NT met wiskunde B gedaan hebben zonder wiskunde D in het pakket een TU mogen instromen. Waarom geven vervolgopleidingen niet veel duidelijker aan welke leerdoelen nodig zijn om een gerede kans van slagen te hebben. Als we het hebben over het doel van wiskunde, dan heeft het vervolgonderwijs een belangrijke taak bij het aangeven van de leerdoelen die als voorkennis noodzakelijk of gewenst geacht worden. Gebeurt dat wel voldoende?
Op het vwo lijkt me statistiek, waarschijnlijkheidsleer (kans) en logisch redeneren onmisbaar als ondergrond voor wetenschappelijk onderwijs. Ik begrijp wel dat, naast de roep om wiskunde op een gegeven moment te kunnen laten vallen, er ook behoefte is aan een wiskundevariant die voor alle profielen op het vwo verplicht wordt gesteld. Voor het havo zou de onderbouw wiskunde misschien genoeg moeten zijn als gemeenschappelijk deel. Ik ben benieuwd wat wiskunde alfa en beta ons zal brengen.

Kennen, kunnen, begrijpen.
Samenvattingen in de wiskundeboeken worden vaak misbruikt om vlak voor de toets te kijken waar het hoofdstuk over gaat, om zodoende nog proberen enkele vragen goed te beantwoorden. Het lijkt een beetje op paniekvoetbal, de laatste minuut de keeper naar voren sturen, in de hoop nog een punt te scoren. Het getuigt niet echt van een goede wedstrijd, of van een goede voorbereiding. Veel zinvoller is het om leerlingen zelf een samenvatting te laten maken of bijhouden. Het maken van een kennen-kunnen-begrijpen-lijst is aan te bevelen. In de kennen-kolom (weten) komen de nieuwe begrippen, regels, weetjes die ze geleerd hebben, in de kunnen-kolom wat ze moeten kunnen uitrekenen, tekenen of beredeneren (voordoen, gebruiken), en in de begrijpen-kolom komt wat je moet kunnen bewijzen of uitleggen (het vereiste inzicht waarom iets werkt). De regel voor de inhoud van een piramide bijvoorbeeld moet je kennen (weten, onthouden), kunnen (er mee rekenen, gebruiken) en begrijpen (aannemelijk maken dat de regel klopt). Deze drie beheersingsniveaus laten zich in klas 1 makkelijk toelichten met bijvoorbeeld hoe je breuken vermenigvuldigt.
3/4 * 2/5 = 3/10 (je hebt het antwoord onthouden, kennen is weten)
3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/10 (niveau kunnen, uitvoeren, voordoen)
3/4 * 2/5 tekenen en inzichtelijk maken waarom de regel (T*T)/(N*N) werkt (begrijpen dus)
Zo probeer je bij wiskunde de begrijpen kolom zoveel mogelijk gevuld te laten zijn, dan hoef je ook minder te onthouden en minder te oefenen. Als ik op zoek ga naar voorbeelden waarbij het niet lukt om leerlingen begrip bij te brengen bij geleerde vaardigheden, dan vraag ik me direct af wat dan de zin daarvan is. De oppervlakte en inhoud van een bol bijvoorbeeld. Het bewijs hiervan komt niet gelijktijdig met het geven van de regel. Hoort dit dan wel thuis in het vak wiskunde, of moet het pas aan bod komen als je de regel wel aannemelijk kan maken? De regel van Euler is er ook zo een. In klas 1 moeten ze die onthouden en gebruiken om te controleren of het aantal vlakken + hoekpunten wel gelijk is aan ribben + 2. Maar ze hoeven van mij deze regel niet te bewijzen. Is het dan wel zinvol? Toch wil je de leerlingen deze mooie regels niet onthouden, daar zijn ze te mooi voor. Net zoals het getal pi. Maar ja, wat moet je ermee?

Exact of een benadering.
Een opvallend verschil tussen wiskunde A en B is dat bij wiskunde B veel vaker een exact antwoord gewenst wordt terwijl bij wiskunde A een benadering met de (grafische) rekenmachine berekening volstaat. Er gaan zelfs stemmen op om de rekenmachine in het geheel te verbieden. Maar hoe verkoop je dat? De leefwereld van leerlingen barst van de (mobiele) apparaten waarop gerekend kan worden. Zonder verdere argumenten vind ik dat de leerlingen vertrouwd moeten raken met de mogelijkheden van mobiele rekenapparaten, gewoon omdat het kan.
Evenzo moeten leerlingen een aantal zaken nog steeds exact uit kunnen rekenen, weer gewoonweg, omdat het kan. Sin15, cos15, tan 15 exact uitrekenen is puur vermaak.
Maar soms vraag je je af: waarom moeilijk doen als het makkelijk kan?
Oké, dat is dan twee-een voor de (grafische) rekenmachine!
Je moet toch ergens tijd winnen om de wiskunde vooruit te helpen...

Computer als hulpmiddel.
Ik ben nu helemaal gelukkig met een smartboard, met twee uitklapborden en laptops voor iedereen. Ik maak liever geen keuze wat beter is, maar een uitbreiding van de mogelijkheden (presentaties, animaties, de DWO, Youtube, Geogebra en de GR), daar kan toch niemand op tegen zijn. Je moet al die hulpmiddelen echter wel op een zinvolle en constructieve manier inzetten, anders kan het averechts werken. En zo ben je het eens met iedereen, of eh... ;-)

Geen opmerkingen:

Een reactie posten